Сколько существует трехзначных чисел, у которых произведение цифр меньше трех?

Для того чтобы найти количество трехзначных чисел, у которых произведение цифр меньше трех, нужно рассмотреть все возможные варианты.

В трехзначном числе каждая цифра может быть от 1 до 9. Однако, нам нужно найти числа, у которых произведение цифр меньше трех. Это возможно только в случае, если все цифры в числе будут равны 1 или 2.

Следовательно, у нас есть два варианта:

1. Все цифры равны 1. Таких чисел будет только одно - 111.
2. Все цифры равны 2. Таких чисел также будет только одно - 222.

Итак, существует всего два трехзначных числа, у которых произведение цифр меньше трех: 111 и 222.

Для решения этой задачи мы ищем количество трехзначных чисел, у которых произведение цифр меньше трех. Давайте разберемся, какие возможны варианты:

Трехзначное число можно обозначить как ( \overline{abc} ), где ( a, b, c ) — цифры числа, и ( a \neq 0 ) (поскольку ( a ) — старшая цифра трехзначного числа).

Наша цель — определить, для каких комбинаций цифр произведение ( a \times b \times c < 3 ).

1. Случай, когда произведение равно 0:

   Для произведения трех чисел быть равным нулю, хотя бы одно из этих чисел должно быть равно нулю. Поскольку ( a \neq 0 ), это означает, что хотя бы одна из цифр ( b ) или ( c ) должна быть равна нулю.

   • Если ( b = 0 ), ( c ) может принимать любое значение от 0 до 9, а ( a ) — от 1 до 9. Это дает нам ( 9 \times 10 = 90 ) вариантов.
   • Если ( c = 0 ), ( b ) может принимать любое значение от 0 до 9, а ( a ) — от 1 до 9. Это также дает нам ( 9 \times 10 = 90 ) вариантов.

   Однако при этом сценарии мы дважды учли случай, когда ( b = 0 ) и ( c = 0 ) одновременно, то есть число вида ( \overline{a00} ) (где ( a = 1, 2, \ldots, 9 )). Таких чисел 9.

   Поэтому общее количество чисел с произведением цифр равным 0 равно ( 90 + 90 - 9 = 171 ).

2. Случай, когда произведение равно 1:

   Произведение трех чисел будет равно 1 только в том случае, если все три числа равны 1. Таким образом, единственное число, удовлетворяющее этому условию, — это 111.

3. Случай, когда произведение равно 2:

   Произведение трех чисел может быть равно 2 только при следующих комбинациях цифр:

   • ( a = 2 ), ( b = 1 ), ( c = 1 ) (число 211).
   • ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 1 ) (число 121).
   • ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = 2 ) (число 112).

   Каждая из этих комбинаций является уникальной, и таких чисел 3.

Теперь суммируем количество чисел для каждого случая:

• С произведением цифр 0: 171 число.
• С произведением цифр 1: 1 число.
• С произведением цифр 2: 3 числа.

Итак, общее количество трехзначных чисел, у которых произведение цифр меньше трех, равно ( 171 + 1 + 3 = 175 ).