Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 20, соединены отрезками. Найдите...

Чтобы найти периметр четырехугольника, образованного соединением середин последовательных сторон прямоугольника, начнем с анализа задачи.

1. Понять геометрию задачи:

   • У нас есть прямоугольник, обозначим его стороны как ( AB = a ) и ( BC = b ).
   • Диагональ прямоугольника ( AC ) равна 20. Из свойства прямоугольника мы знаем, что диагональ можно выразить через стороны как: [ AC = \sqrt{a^2 + b^2} = 20 ] Отсюда: [ a^2 + b^2 = 400 ]

2. Середины сторон:

   • Обозначим середины сторон как ( M, N, P, Q ), где:
     • ( M ) — середина ( AB ),
     • ( N ) — середина ( BC ),
     • ( P ) — середина ( CD ),
     • ( Q ) — середина ( DA ).

3. Четырехугольник ( MNPQ ):

   • Этот четырехугольник является параллелограммом, так как его стороны ( MN \parallel PQ ) и ( MP \parallel NQ ) (середины сторон связаны параллельными отрезками).

4. Длина сторон четырехугольника:

   • Длина каждой стороны параллелограмма равна половине диагонали прямоугольника, потому что каждая из сторон параллелограмма равна половине суммы квадратов соответствующих сторон прямоугольника.
   • Следовательно, стороны ( MNPQ ) равны: [ MN = PQ = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \frac{20}{2} = 10 ] [ MP = NQ = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \frac{20}{2} = 10 ]

5. Периметр четырехугольника:

   • Поскольку ( MNPQ ) является параллелограммом с равными сторонами ( MN = MP = PQ = NQ = 10 ), то периметр равен: [ P = 2(MN + MP) = 2(10 + 10) = 40 ]

Таким образом, периметр четырехугольника, образованного серединными отрезками последовательных сторон прямоугольника, равен 40.

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойством прямоугольника, что его диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Обозначим середины сторон прямоугольника как точки A, B, C, D, где AB и CD - середины сторон, а AC и BD - диагонали.

Так как AC и BD - диагонали прямоугольника, то ACBD - это ромб. Поскольку рамб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам в точке пересечения. Поэтому AC = BD = 20/2 = 10.

Теперь посчитаем длины отрезков AB, BC, CD, DA. Так как AB и CD - середины сторон прямоугольника, то AB = CD = 20/2 = 10.

Таким образом, мы получаем, что AB = CD = 10, AC = BD = 10. Четырехугольник ABCD - это прямоугольник со сторонами 10 и 10. Периметр прямоугольника равен 2 * (10 + 10) = 40.

Итак, периметр образовавшегося четырехугольника равен 40.