Семья взяла в банке ипотечный кредит под 10 % годовых на 8 лет.Условия погашения кредита следующие:по...

Давайте обозначим основную сумму, которую взяла семья в банке за х миллионов рублей.

После первого года семья выплачивает 10% от х миллионов рублей в виде процентов и 1/8 часть основной суммы, то есть х/8 миллионов рублей. Таким образом, после первого года остается неоплаченной (х + 0.1х - x/8) = 0.9x - x/8 = 7/8x миллионов рублей.

После второго года семья снова выплачивает 10% от оставшейся суммы (7/8x миллионов рублей) в виде процентов и 1/8 часть оставшейся основной суммы. После второго года остается неоплаченной (7/8x + 0.1*7/8x - 7/8x/8) = (7/8 + 7/80 - 7/64)x = 63/64x миллионов рублей.

Продолжая аналогичные вычисления, после третьего года остается неоплаченной (63/64 + 63/640 - 63/6400)x = 567/640x миллионов рублей.

После восьмого года остается неоплаченной (567/640)^7x миллионов рублей.

Последний платеж, который полностью погашает кредит, составляет 605 тысяч рублей, что равно 0.605 миллионов рублей. Таким образом, у нас есть уравнение:

(567/640)^7x = 0.605

Решив это уравнение, получим x ≈ 4.4 миллиона рублей.

Итак, семья взяла в банке 4.4 миллиона рублей.

Для решения задачи нужно определить начальную сумму кредита ( S ), которую семья взяла в банке. Для этого воспользуемся условиями задачи и методом обратного расчета.

Известно, что кредит составляет 8 лет и каждый год семья выплачивает 1/8 часть основной суммы кредита плюс проценты. Ставка составляет 10% годовых.

Обозначим начальную сумму кредита через ( S ).

Каждый год семья выплачивает 1/8 часть основной суммы кредита, т.е. ( \frac{S}{8} ).

Проценты начисляются на оставшуюся часть долга. Платежи происходят в конце года, таким образом, проценты начисляются на остаток долга после выплаты основной части за предыдущий год.

Рассмотрим остаток долга на каждый год и соответствующие платежи:

1. Первый год:

   • Выплачивается 1/8 часть основной суммы: ( \frac{S}{8} ).
   • Проценты на весь кредит: ( 0.1 \times S ).
   • Общий платеж: ( \frac{S}{8} + 0.1 \times S ).

2. Второй год:

   • Остаток долга после первого платежа: ( S - \frac{S}{8} = \frac{7S}{8} ).
   • Выплачивается 1/8 часть основной суммы: ( \frac{S}{8} ).
   • Проценты на оставшуюся сумму: ( 0.1 \times \frac{7S}{8} ).
   • Общий платеж: ( \frac{S}{8} + 0.1 \times \frac{7S}{8} ).

3. Третий год:

   • Остаток долга после второго платежа: ( \frac{7S}{8} - \frac{S}{8} = \frac{6S}{8} = \frac{3S}{4} ).
   • Выплачивается 1/8 часть основной суммы: ( \frac{S}{8} ).
   • Проценты на оставшуюся сумму: ( 0.1 \times \frac{3S}{4} ).
   • Общий платеж: ( \frac{S}{8} + 0.1 \times \frac{3S}{4} ).

Таким образом, для последнего (восьмого) года:

• Остаток долга: ( \frac{S}{8} ).
• Проценты на оставшуюся сумму: ( 0.1 \times \frac{S}{8} = \frac{0.1S}{8} ).
• Полный платеж: ( \frac{S}{8} + \frac{0.1S}{8} = \frac{S}{8} (1 + 0.1) = \frac{S}{8} \times 1.1 = \frac{1.1S}{8} ).

По условию задачи, последний платеж составил 605 тысяч рублей, т.е.: [ \frac{1.1S}{8} = 605 \text{ тыс. рублей} ]

Решаем это уравнение для ( S ): [ S = \frac{8 \times 605}{1.1} \text{ тыс. рублей} ]

Выполним вычисления: [ S = \frac{4840}{1.1} \text{ тыс. рублей} = 4400 \text{ тыс. рублей} ]

Итак, начальная сумма кредита составляет 4400 тысяч рублей или 4.4 миллиона рублей.