Решите уравнение: √2x+1-√x=1

Для решения данного уравнения:

√(2x + 1) - √x = 1

начнем с избавления от корней. Для этого удобно воспользоваться методом возведения обеих частей уравнения в квадрат. Однако перед этим следует изолировать один из корней:

√(2x + 1) = √x + 1

Теперь возведем обе части в квадрат:

(√(2x + 1))^2 = (√x + 1)^2

2x + 1 = x + 2√x + 1

Переносим все члены, содержащие x, на одну сторону, а свободные члены - на другую:

2x - x = 2√x + 1 - 1

x = 2√x

Снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x^2 = (2√x)^2

x^2 = 4x

Далее приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 - 4x = 0

Вынесем x за скобку:

x(x - 4) = 0

Отсюда получаем два корня:

x = 0 или x - 4 = 0 → x = 4

Теперь проверим каждый из корней в исходном уравнении:

1. x = 0: √(2*0 + 1) - √0 = √1 - 0 = 1 - 0 = 1 Левая сторона равна правой, значит, x = 0 подходит.

2. x = 4: √(2*4 + 1) - √4 = √9 - 2 = 3 - 2 = 1 Левая сторона снова равна правой, значит, x = 4 также подходит.

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 4.

Для решения данного уравнения сначала выразим подкоренные выражения через переменную. Пусть √x = t, тогда √2x = 2t. Тогда уравнение примет вид:

2t + 1 - t = 1, t + 1 = 1, t = 0.

Таким образом, получаем, что √x = 0, что в свою очередь означает, что x = 0. Проверим найденное решение подставив x = 0 обратно в уравнение:

√2*0 + 1 - √0 = 1, 0 + 1 - 0 = 1, 1 = 1.

Решение верно, следовательно, x = 0 - корень уравнения √2x + 1 - √x = 1.