Решите уравнение: 24^x-52^x+2=0
Решите уравнение: 24^x-52^x+2=0
Решим уравнение (2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0).
Первым шагом заметим, что (4^x) можно представить как ((2^2)^x = (2^x)^2). Это позволит нам упростить уравнение.
Обозначим (y = 2^x). Тогда (4^x = (2^x)^2 = y^2). Подставим это в уравнение:
[2 \cdot y^2 - 5 \cdot y + 2 = 0.]
Теперь у нас квадратное уравнение относительно (y). Решим его стандартными методами.
Коэффициенты квадратного уравнения:
Найдем дискриминант (D):
[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.]
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их:
[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}.]
Таким образом, получаем два корня:
[y_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2,] [y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.]
Теперь вернемся к переменной (x). Мы знаем, что (y = 2^x), поэтому:
Таким образом, уравнение (2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0) имеет два решения:
[x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1.]
Для решения уравнения 24^x - 52^x + 2 = 0 необходимо заменить 4 и 2 в выражении на 2 в степени x. Таким образом, уравнение примет вид:
2(2^2)^x - 52^x + 2 = 0 22^(2x) - 52^x + 2 = 0
Далее проведем замену переменной, обозначим 2^x за y:
2y^2 - 5y + 2 = 0
Теперь решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант:
D = (-5)^2 - 422 = 25 - 16 = 9 y1,2 = (5±√9)/(2*2) = (5±3)/4
Таким образом, получаем два решения для y:
y1 = 2 y2 = 1/2
Теперь, возвращаемся к замене переменной:
y1 = 2 -> 2^x = 2 -> x = 1 y2 = 1/2 -> 2^x = 1/2 -> x = -1
Итак, уравнение 24^x - 52^x + 2 = 0 имеет два корня: x = 1 и x = -1.
Решение: 4^x = (2^x)^2, поэтому заменим 4^x на (2^x)^2. Получим уравнение: (2^x)^2 - 5*2^x + 2 = 0. Обозначим 2^x за t. Тогда уравнение примет вид: t^2 - 5t + 2 = 0. Решим это квадратное уравнение и найдем значения t.
