Решите уравнение: (⁵√128x⁴) + (⁵√64x²) = 4

Чтобы решить уравнение ((⁵√128x⁴) + (⁵√64x²) = 4), начнем с преобразования каждого слагаемого в более удобную форму.

1. Преобразование первого слагаемого ((⁵√128x⁴)):

   Разложим (128) на простые множители: [ 128 = 2^7 ] Таким образом, выражение (128x^4) можно записать как (2^7 x^4). Теперь извлечем корень пятой степени: [ \sqrt[5]{2^7 x^4} = \left(2^7 x^4\right)^{1/5} = 2^{7/5} x^{4/5} ]

2. Преобразование второго слагаемого ((⁵√64x²)):

   Разложим (64) на простые множители: [ 64 = 2^6 ] Таким образом, выражение (64x^2) можно записать как (2^6 x^2). Теперь извлечем корень пятой степени: [ \sqrt[5]{2^6 x^2} = \left(2^6 x^2\right)^{1/5} = 2^{6/5} x^{2/5} ]

   Теперь у нас есть преобразованное уравнение: [ 2^{7/5} x^{4/5} + 2^{6/5} x^{2/5} = 4 ]

3. Введем замену (y = x^{2/5}):

   Тогда (x^{4/5} = (x^{2/5})^2 = y^2), и уравнение становится: [ 2^{7/5} y^2 + 2^{6/5} y = 4 ]

4. Решим квадратное уравнение относительно (y):

   Пусть (a = 2^{7/5}) и (b = 2^{6/5}): [ a y^2 + b y - 4 = 0 ]

   Используем формулу для решения квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0): [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   В нашем случае: [ y = \frac{-2^{6/5} \pm \sqrt{(2^{6/5})^2 - 4 \cdot 2^{7/5} \cdot (-4)}}{2 \cdot 2^{7/5}} ]

   Сначала найдем подкоренное выражение: [ (2^{6/5})^2 - 4 \cdot 2^{7/5} \cdot (-4) = 2^{12/5} + 16 \cdot 2^{7/5} ]

   Вынесем общий множитель (2^{7/5}): [ 2^{7/5} (2^{5/5} + 16) = 2^{7/5} (2 + 16) = 2^{7/5} \cdot 18 ]

   Теперь подставим это в формулу для корней: [ y = \frac{-2^{6/5} \pm \sqrt{2^{7/5} \cdot 18}}{2 \cdot 2^{7/5}} ]

   Упростим выражение: [ y = \frac{-2^{6/5} \pm \sqrt{18 \cdot 2^{7/5}}}{2 \cdot 2^{7/5}} = \frac{-2^{6/5} \pm \sqrt{18} \cdot 2^{7/10}}{2 \cdot 2^{7/5}} ]

   Заметим, что (2^{7/10} = 2^{7/5 \cdot 1/2}), и упростим знаменатель: [ y = \frac{-2^{6/5} \pm 3\sqrt{2} \cdot 2^{7/10}}{2 \cdot 2^{7/5}} = \frac{-2^{6/5} \pm 3 \cdot 2^{7/10+1/2}}{2 \cdot 2^{7/5}} ]

   Продолжим упрощение: [ y = \frac{-2^{6/5} \pm 3 \cdot 2}{2^{7/5+1}} = \frac{-2^{6/5} \pm 3 \cdot 2}{2^{12/5}} ]

   [ y = \frac{-2^{6/5} \pm 3 \cdot 2}{2^{12/5}} = \frac{-2^{6/5} \pm 6}{2^{12/5}} ]

   Разделим числитель и знаменатель на (2^{6/5}): [ y = \frac{-1 \pm 3 \cdot 2^{1/5}}{2^{6/5}} ]

   У нас два корня: [ y_1 = \frac{-1 + 3 \cdot 2^{1/5}}{2^{6/5}} ] [ y_2 = \frac{-1 - 3 \cdot 2^{1/5}}{2^{6/5}} ]

   Теперь вернемся к переменной (x). Поскольку (y = x^{2/5}), найдем (x) для каждого корня (y): [ x = y^{5/2} ]

   Подставим значения (y_1) и (y_2) и найдём (x). Проверим, будут ли полученные корни реальными числами.

   Для (y_1): [ y_1 = \frac{-1 + 3 \cdot 2^{1/5}}{2^{6/5}} ] Проверим, будет ли (y_1) положительным числом, чтобы (x) был действительным.

   Для (y_2): [ y_2 = \frac{-1 - 3 \cdot 2^{1/5}}{2^{6/5}} ] Проверим, будет ли (y_2) положительным числом, чтобы (x) был действительным.

   Таким образом, мы получаем все возможные значения для (x), исходя из действительных корней (y).

Для решения данного уравнения сначала преобразуем корни пятой степени чисел 128 и 64:

(⁵√128) = 2 (⁵√64) = 2

Теперь уравнение примет вид:

2x^4 + 2x^2 = 4

Разделим обе части уравнения на 2:

x^4 + x^2 = 2

Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменной x^2:

(x^2)^2 + x^2 - 2 = 0

Далее решим квадратное уравнение при помощи общей формулы решения квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac D = 1 - 4*(-2) = 1 + 8 = 9

x^2 = (-b ± √D) / 2a x^2 = (-1 ± 3) / 2 = 1 или -2

Теперь найдем значения x:

x^2 = 1: x = ±1 x^2 = -2: нет действительных корней

Таким образом, у уравнения два корня: x = 1 и x = -1.