Решите систему уравнений 2x+3y=3, 3y²-4x=18

Для решения системы уравнений:

1) (2x + 3y = 3)

2) (3y^2 - 4x = 18)

будем использовать метод подстановки и метод алгебраического устранения переменной.

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из первого уравнения.

Возьмем первое уравнение:

[2x + 3y = 3]

Выразим (x) через (y):

[2x = 3 - 3y]

[x = \frac{3 - 3y}{2}]

Шаг 2: Подставим выражение для (x) во второе уравнение.

Теперь подставим (x = \frac{3 - 3y}{2}) во второе уравнение:

[3y^2 - 4x = 18]

[3y^2 - 4\left(\frac{3 - 3y}{2}\right) = 18]

Шаг 3: Упростим выражение.

Упростим выражение внутри скобок:

[3y^2 - 4 \cdot \frac{3 - 3y}{2} = 18]

[3y^2 - 2(3 - 3y) = 18]

[3y^2 - 6 + 6y = 18]

Шаг 4: Перенесем все члены на одну сторону уравнения.

Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить уравнение вида (ay^2 + by + c = 0):

[3y^2 + 6y - 6 = 18]

[3y^2 + 6y - 24 = 0]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

Для решения квадратного уравнения (3y^2 + 6y - 24 = 0) используем дискриминант:

[a = 3, \quad b = 6, \quad c = -24]

Дискриминант (D) равен:

[D = b^2 - 4ac]

[D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24)]

[D = 36 + 288]

[D = 324]

Корень дискриминанта равен:

[\sqrt{D} = 18]

Теперь найдем корни уравнения:

[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2]

[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 18}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4]

Шаг 6: Найдем соответствующие значения (x).

Для каждого найденного значения (y) подставим его в выражение (x = \frac{3 - 3y}{2}):

Для (y = 2):

[x = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{3 - 6}{2} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}]

Для (y = -4):

[x = \frac{3 - 3 \cdot (-4)}{2} = \frac{3 + 12}{2} = \frac{15}{2}]

Шаг 7: Запишем решения системы.

У нас получились два решения для системы уравнений:

[(x, y) = \left(-\frac{3}{2}, 2\right)]

[(x, y) = \left(\frac{15}{2}, -4\right)]

Таким образом, решения системы уравнений (2x + 3y = 3) и (3y^2 - 4x = 18) являются:

[\left(-\frac{3}{2}, 2\right) \quad \text{и} \quad \left(\frac{15}{2}, -4\right)]

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из первого уравнения выразим x через y: 2x = 3 - 3y x = (3 - 3y) / 2

Подставим найденное значение x во второе уравнение: 3y² - 4(3 - 3y) / 2 = 18 3y² - 6 + 6y = 18 3y² + 6y - 24 = 0 y² + 2y - 8 = 0 (y + 4)(y - 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для y: y₁ = -4 y₂ = 2

Подставим каждое из значений y в первое уравнение и найдем соответствующие значения x: Для y = -4: 2x + 3(-4) = 3 2x - 12 = 3 2x = 15 x = 15 / 2 x = 7.5

Для y = 2: 2x + 3(2) = 3 2x + 6 = 3 2x = -3 x = -3 / 2 x = -1.5

Таким образом, система уравнений имеет два решения: x₁ = 7.5, y₁ = -4 x₂ = -1.5, y₂ = 2

1. Метод исключения переменных: Умножим первое уравнение на 2 и выразим x: 4x + 6y = 6

Подставим это выражение во второе уравнение и решим полученное уравнение: 3y² - (4x + 6y) = 18 3y² - 4x - 6y = 18 3y² - 4x - 6y - 18 = 0 3y² - 4x - 6y - 18 = 0

Решив это уравнение, получим значения для x и y.

Таким образом, система уравнений 2x + 3y = 3 и 3y² - 4x = 18 имеет два решения: (7.5, -4) и (-1.5, 2).

x = -15, y = 7