Решите пожалуйста sin(x/3-pi/4)=-1/2

Чтобы решить уравнение (\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}), нам нужно найти такие значения (x), для которых данное уравнение будет верным.

Шаг 1: Основное тригонометрическое значение

Сначала вспомним, что (\sin(\theta) = -\frac{1}{2}) соответствует углу (\theta), который равен (-\frac{1}{2}) в единичной окружности. Основные значения угла для (\sin(\theta) = -\frac{1}{2}) находятся в III и IV квадрантах. В радианах эти углы:

1. (\theta = \frac{7\pi}{6})
2. (\theta = \frac{11\pi}{6})

Шаг 2: Общие решения

Так как синус — периодическая функция с периодом (2\pi), общее решение уравнения (\sin(\theta) = -\frac{1}{2}) будет выглядеть следующим образом:

1. (\theta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), где (k \in \mathbb{Z})
2. (\theta = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k), где (k \in \mathbb{Z})

Шаг 3: Подстановка и решение

Теперь подставим (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \theta). Получаем два случая:

1. (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)
2. (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)

Решим каждое из этих уравнений для (x).

Случай 1:

[ \frac{x}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \frac{x}{3} = \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{17\pi}{12} + 2\pi k ]

Умножим всё на 3, чтобы решить относительно (x):

[ x = \frac{51\pi}{12} + 6\pi k ]

Случай 2:

[ \frac{x}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \frac{x}{3} = \frac{22\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{25\pi}{12} + 2\pi k ]

Умножим всё на 3, чтобы решить относительно (x):

[ x = \frac{75\pi}{12} + 6\pi k ]

Ответ

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

1. (x = \frac{51\pi}{12} + 6\pi k)
2. (x = \frac{75\pi}{12} + 6\pi k)

где (k \in \mathbb{Z}).

Для решения уравнения sin(x/3 - pi/4) = -1/2 сначала найдем общее решение уравнения sin(x) = -1/2. Так как sin(-pi/6) = -1/2, то x = -pi/6 + 2pi*k, где k - целое число, является общим решением уравнения sin(x) = -1/2.

Теперь рассмотрим уравнение sin(x/3 - pi/4) = -1/2. Применим замену переменной t = x/3 - pi/4. Тогда sin(t) = -1/2, откуда t = -pi/6 + 2pi*k.

Теперь вернемся к исходной переменной x: x/3 - pi/4 = -pi/6 + 2pik. Умножим обе части на 3: x - 3pi/4 = -pi/2 + 6pik. Теперь прибавим 3pi/4 к обеим частям: x = -pi/4 + 6pi*k.

Таким образом, общее решение уравнения sin(x/3 - pi/4) = -1/2 имеет вид x = -pi/4 + 6pi*k, где k - целое число.