Решите неравенство, используя метод интервалов: (х+11)(х+3)(х-8)>0

Для решения данного неравенства сначала найдем его корни, то есть значения x, при которых выражение (x+11)(x+3)(x-8) равно нулю.

Для этого приравняем выражение к нулю:

(x+11)(x+3)(x-8) = 0

x+11 = 0 => x = -11 x+3 = 0 => x = -3 x-8 = 0 => x = 8

Таким образом, у нас есть три корня: x=-11, x=-3 и x=8.

Теперь построим интервалы на числовой прямой, разбив его на четыре части с учетом найденных корней: 1) x < -11 2) -11 < x < -3 3) -3 < x < 8 4) x > 8

Подберем пробные значения в каждом интервале и определим знак выражения (x+11)(x+3)(x-8) в них: 1) x = -12: (-1)(-9)(-20) = 180 > 0 2) x = -5: (2)(-2)(-13) = 52 < 0 3) x = 0: (11)(3)(-8) = -264 < 0 4) x = 9: (20)(12)(1) = 240 > 0

Таким образом, решением неравенства (x+11)(x+3)(x-8)>0 являются интервалы (-11, -3) и (8, +∞).

Ответ: (-бесконечность; -11) U (-3; 8) U (бесконечность)

Для решения неравенства ((х+11)(х+3)(х-8) > 0) методом интервалов, выполним следующие шаги:

1. Найти нули выражения: Это точки, в которых каждый из множителей равен нулю: [ х+11 = 0 \Rightarrow х = -11 ] [ х+3 = 0 \Rightarrow х = -3 ] [ х-8 = 0 \Rightarrow х = 8 ] Таким образом, нули выражения: (х = -11), (х = -3) и (х = 8).

2. Разбить числовую ось на интервалы: Нули выражения делят числовую ось на несколько интервалов. Рассмотрим интервалы: [ (-\infty, -11), (-11, -3), (-3, 8), (8, +\infty) ]

3. Определить знак выражения на каждом интервале: Для этого подставим в выражение ((х+11)(х+3)(х-8)) произвольное значение (х) из каждого интервала и определим знак выражения на этом интервале.

   • Интервал ((-∞, -11)): Возьмем (х = -12): [ (-12+11)(-12+3)(-12-8) = (-1)(-9)(-20) ] Число отрицательное, так как произведение трех отрицательных чисел отрицательно. Значит, на интервале ((-∞, -11)) выражение отрицательно.

   • Интервал ((-11, -3)): Возьмем (х = -5): [ (-5+11)(-5+3)(-5-8) = (6)(-2)(-13) ] Число положительное, так как произведение одного положительного и двух отрицательных чисел положительно. Значит, на интервале ((-11, -3)) выражение положительно.

   • Интервал ((-3, 8)): Возьмем (х = 0): [ (0+11)(0+3)(0-8) = (11)(3)(-8) ] Число отрицательное, так как произведение двух положительных и одного отрицательного числа отрицательно. Значит, на интервале ((-3, 8)) выражение отрицательно.

   • Интервал ((8, +∞)): Возьмем (х = 9): [ (9+11)(9+3)(9-8) = (20)(12)(1) ] Число положительное, так как произведение трех положительных чисел положительно. Значит, на интервале ((8, +∞)) выражение положительно.

4. Определить, какие интервалы удовлетворяют неравенству: Неравенство ((х+11)(х+3)(х-8) > 0) выполняется на тех интервалах, где выражение положительно. Это интервалы ((-11, -3)) и ((8, +∞)).

5. Записать решение неравенства: Решение неравенства ((х+11)(х+3)(х-8) > 0) можно записать в виде: [ х \in (-11, -3) \cup (8, +∞) ]

Таким образом, решение данного неравенства — это объединение двух интервалов: [ х \in (-11, -3) \cup (8, +∞) ]