Решите неравенство 2(x-1)(x+2)≤0 В ответе укажите количество целых решений данного неравенства Помогите...

Для решения данного неравенства 2(x-1)(x+2)≤0, нужно выяснить, когда произведение двух множителей будет меньше или равно нулю.

Для этого рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. (x-1) ≤ 0 Это неравенство выполняется, когда x ≤ 1.

2. (x+2) ≤ 0 Это неравенство выполняется, когда x ≤ -2.

Теперь найдем пересечение этих интервалов: -∞ < x ≤ -2 и -2 ≤ x ≤ 1

Таким образом, целых решений данного неравенства 2(x-1)(x+2)≤0 два: x=-2 и x=1.

Для решения неравенства ( 2(x-1)(x+2) \leq 0 ) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростите неравенство:

   Разделим обе части неравенства на 2, так как деление на положительное число не изменяет знак неравенства:

   [ (x-1)(x+2) \leq 0 ]

2. Найдите нули выражения:

   Чтобы определить критические точки, найдём значения ( x ), при которых произведение равно нулю:

   [ (x-1)(x+2) = 0 ]

   Решив уравнение, получим:

   [ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ]

   [ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 ]

3. Разделите числовую прямую на интервалы:

   Критические точки ( x = -2 ) и ( x = 1 ) делят числовую прямую на три интервала:

   • ( (-\infty, -2) )
   • ( (-2, 1) )
   • ( (1, \infty) )

4. Определите знак выражения в каждом интервале:

   Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала ( (-\infty, -2) ), возьмём ( x = -3 ):

     [ (x-1)(x+2) = (-3-1)(-3+2) = (-4)(-1) = 4 \quad \Rightarrow \quad \text{положительное} ]

   • Для интервала ( (-2, 1) ), возьмём ( x = 0 ):

     [ (x-1)(x+2) = (0-1)(0+2) = (-1)(2) = -2 \quad \Rightarrow \quad \text{отрицательное} ]

   • Для интервала ( (1, \infty) ), возьмём ( x = 2 ):

     [ (x-1)(x+2) = (2-1)(2+2) = (1)(4) = 4 \quad \Rightarrow \quad \text{положительное} ]

5. Определите знак на границах интервалов:

   Проверим знаки выражения в критических точках ( x = -2 ) и ( x = 1 ):

   [ (x-1)(x+2) \text{ при } x = -2 \quad \Rightarrow \quad (-2-1)(-2+2) = (-3)(0) = 0 ]

   [ (x-1)(x+2) \text{ при } x = 1 \quad \Rightarrow \quad (1-1)(1+2) = (0)(3) = 0 ]

   Так как неравенство не строгое (( \leq )), точки ( x = -2 ) и ( x = 1 ) включаются в решение.

6. Запишите решение:

   На основе анализа знаков в интервалах и на границах, решением неравенства являются значения ( x ) из интервала ( [-2, 1] ).

   [ [-2, 1] ]

7. Определите количество целых решений:

   Целые числа, принадлежащие интервалу ( [-2, 1] ), это: ( -2, -1, 0, 1 ).

   Убедимся, что они удовлетворяют неравенству:

   [ (x-1)(x+2) \text{ при } x = -2 \quad \Rightarrow \quad ( -2 - 1 )( -2 + 2 ) = 0 ]

   [ (x-1)(x+2) \text{ при } x = -1 \quad \Rightarrow \quad ( -1 - 1 )( -1 + 2 ) = (-2)(1) = -2 ]

   [ (x-1)(x+2) \text{ при } x = 0 \quad \Rightarrow \quad ( 0 - 1 )( 0 + 2 ) = (-1)(2) = -2 ]

   [ (x-1)(x+2) \text{ при } x = 1 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - 1 )( 1 + 2 ) = 0 ]

   Все эти значения удовлетворяют неравенству ( (x-1)(x+2) \leq 0 ).

   Таким образом, количество целых решений данного неравенства равно 4.