Решить уравнение x=1+корень из x+11

Для решения уравнения ( x = 1 + \sqrt{x + 11} ) начнем с изоляции квадратного корня:

1. Перенесем 1 в левую сторону: [ x - 1 = \sqrt{x + 11} ]

2. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: [ (x - 1)^2 = (\sqrt{x + 11})^2 ] [ x^2 - 2x + 1 = x + 11 ]

3. Переносим все члены уравнения в левую сторону: [ x^2 - 2x + 1 - x - 11 = 0 ] [ x^2 - 3x - 10 = 0 ]

4. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант (D): [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 ]

5. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня: [ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2 ]

6. Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению, так как возведение в квадрат могло привести к появлению посторонних корней. Подставим корни обратно в исходное уравнение:

   Для ( x_1 = 5 ): [ 5 = 1 + \sqrt{5 + 11} ] [ 5 = 1 + \sqrt{16} ] [ 5 = 1 + 4 ] [ 5 = 5 ] (верно)

   Для ( x_2 = -2 ): [ -2 = 1 + \sqrt{-2 + 11} ] [ -2 = 1 + \sqrt{9} ] [ -2 = 1 + 3 ] [ -2 = 4 ] (неверно)

Таким образом, единственный корректный корень уравнения — это ( x = 5 ).

Для решения данного уравнения x = 1 + √(x + 11) можно воспользоваться методом подстановки.

1. Подставляем x вместо √(x + 11): x = 1 + √(x + 11) x = 1 + √(x + 11)

2. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: x^2 = (1 + √(x + 11))^2 x^2 = 1 + 2√(x + 11) + (x + 11) x^2 = 1 + 2√(x + 11) + x + 11

3. Переносим все переменные на одну сторону уравнения: x^2 - x - 12 = 2√(x + 11)

4. Возводим обе части уравнения в квадрат: (x^2 - x - 12)^2 = (2√(x + 11))^2 x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 4x + 144 = 4(x + 11)

5. Приводим уравнение к виду: x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 4x + 144 = 4x + 44 x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 4x + 144 - 4x - 44 = 0 x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 144 - 44 = 0 x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 100 = 0

6. Решаем полученное уравнение.