Решить уравнение √х^2-x-3=3

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его квадратный корень в квадратное уравнение, после чего решить полученное уравнение.

Итак, дано уравнение: √x^2 - x - 3 = 3

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x^2 - x - 3) = 3^2 x^2 - x - 3 = 9 x^2 - x - 12 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 41(-12) = 1 + 48 = 49

Найдем корни уравнения:

x1,2 = (-(-1) ± √49) / (2*1) x1,2 = (1 ± 7) / 2 x1 = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4 x2 = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3

Итак, корни уравнения x^2 - x - 12 = 0 равны x1 = 4 и x2 = -3.

Для того, чтобы решить уравнение (\sqrt{x^2 - x - 3} = 3), начнем с избавления от квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

[ (\sqrt{x^2 - x - 3})^2 = 3^2 ] [ x^2 - x - 3 = 9 ]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ x^2 - x - 3 - 9 = 0 ] [ x^2 - x - 12 = 0 ]

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) ] [ D = 1 + 48 = 49 ]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по формуле:

[ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} ] [ x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 ]

Теперь необходимо проверить, подходят ли эти корни исходному уравнению (\sqrt{x^2 - x - 3} = 3), то есть подставим корни обратно в выражение под корнем:

Для (x = 4): [ \sqrt{4^2 - 4 - 3} = \sqrt{16 - 4 - 3} = \sqrt{9} = 3 ]

Для (x = -3): [ \sqrt{(-3)^2 + 3 - 3} = \sqrt{9 + 3 - 3} = \sqrt{9} = 3 ]

Оба корня удовлетворяют условию, следовательно, решениями исходного уравнения являются (x = 4) и (x = -3).

x = 4, x = -2