Решить уравнение √х^2-x-3=3

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его квадратный корень в квадратное уравнение, после чего решить полученное уравнение.

Итак, дано уравнение: √x^2 - x - 3 = 3

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2-x-3$ = 3^2 x^2 - x - 3 = 9 x^2 - x - 12 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = $-1$^2 - 41$-12$ = 1 + 48 = 49

Найдем корни уравнения:

x1,2 = $-(-1$ ± √49) / $2\ast 1$ x1,2 = $1\pm 7$ / 2 x1 = $1+7$ / 2 = 8 / 2 = 4 x2 = $1-7$ / 2 = -6 / 2 = -3

Итак, корни уравнения x^2 - x - 12 = 0 равны x1 = 4 и x2 = -3.

Для того, чтобы решить уравнение $\sqrt{x^2-x-3}=3$, начнем с избавления от квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2-x-3}{)}^2=3^2$ $x^2-x-3=9$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2-x-3-9=0$ $x^2-x-12=0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D=b^2-4ac$ $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-12)$ $D=1+48=49$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по формуле:

[ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-$-1$ \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} ] $x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$

Получаем два корня:

$x_1=\frac{1+7}{2}=4$ $x_2=\frac{1-7}{2}=-3$

Теперь необходимо проверить, подходят ли эти корни исходному уравнению $\sqrt{x^2-x-3}=3$, то есть подставим корни обратно в выражение под корнем:

Для $x=4$: $\sqrt{4^2-4-3}=\sqrt{16-4-3}=\sqrt{9}=3$

Для $x=-3$: $\sqrt{(-3{)}^2+3-3}=\sqrt{9+3-3}=\sqrt{9}=3$

Оба корня удовлетворяют условию, следовательно, решениями исходного уравнения являются $x=4$ и $x=-3$.

x = 4, x = -2