Давайте решим уравнение (\log_{x-2} 16 = 2).
Уравнение в логарифмической форме (\log_{b} a = c) переводится в экспоненциальную форму как (b^c = a). В нашем случае это уравнение принимает вид:
[
(x-2)^2 = 16
]
Теперь решим это уравнение относительно (x).
Раскроем квадрат:
[
(x-2)^2 = 16
]
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
[
x-2 = \pm 4
]
Решим два линейных уравнения:
Теперь у нас есть два потенциальных решения: (x = 6) и (x = -2).
Однако, стоит учесть, что основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. Наше основание (x - 2) в обоих случаях должно удовлетворять этим условиям:
- Для (x = 6): (x - 2 = 6 - 2 = 4). Это допустимое значение, поскольку 4 > 0 и не равно 1.
- Для (x = -2): (x - 2 = -2 - 2 = -4). Это недопустимое значение, так как основание логарифма не может быть отрицательным.
Таким образом, единственным допустимым решением является (x = 6).
Ответ: (x = 6).