Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 5"корней из двух" см вращается вокруг гипотенузы. Найти площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 5"корней из двух" см вращается вокруг гипотенузы. Найти площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, начнем с определения размеров треугольника.
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны (a). Поскольку треугольник является прямоугольным и равнобедренным, его гипотенуза будет равна (a\sqrt{2}).
Из условия задачи известно, что гипотенуза равна (5\sqrt{2}) см. Следовательно, (a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}). Отсюда ясно, что (a = 5) см.
Теперь, когда мы знаем длины катетов, можем найти площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника вокруг его гипотенузы. Это тело представляет собой два конуса с общим основанием.
Когда треугольник вращается вокруг гипотенузы, его катеты будут образовывать радиусы основания конусов. Радиус основания каждого конуса равен длине катета, то есть (r = 5) см.
Высота каждого конуса будет равна проекции катета на ось, перпендикулярную гипотенузе. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, высота каждого конуса будет также равна (5) см.
Площадь поверхности конуса (S) (без основания) можно найти по формуле: [ S = \pi r l ] где (r) — радиус основания, (l) — длина образующей.
Образующая (l) в нашем случае будет равна гипотенузе треугольника, то есть (l = 5\sqrt{2}) см.
Подставляем значения: [ S = \pi \cdot 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\pi\sqrt{2} \text{ см}^2 ]
Так как у нас два конуса, общая площадь поверхности будет: [ S_{\text{общая}} = 2 \cdot 25\pi\sqrt{2} = 50\pi\sqrt{2} \text{ см}^2 ]
Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой (5\sqrt{2}) см вокруг гипотенузы, равна (50\pi\sqrt{2}) квадратных сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.
Площадь поверхности тела, полученного при вращении, можно найти с помощью формулы для площади поверхности вращения:
S = 2πrL,
где S - площадь поверхности тела, r - радиус вращения, L - длина кривой, по которой вращается фигура.
В данном случае, равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 5√2 см имеет катеты равные 5 см. Таким образом, длина кривой L будет равна длине окружности с радиусом 5 см (поскольку треугольник вращается вокруг гипотенузы).
L = 2πr = 2π * 5 = 10π см.
Теперь найдем радиус вращения, который равен половине гипотенузы (половина длины гипотенузы равна радиусу окружности).
r = 5√2 / 2 = 5√2 / 2.
Подставим найденные значения в формулу:
S = 2π (5√2 / 2) 10π = 5π^2 * √2.
Итак, площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 5√2 см вокруг гипотенузы, будет равна 5π^2 * √2 квадратных сантиметров.
