Пусть x1 и x2 – корни уравнения х^2-4x-7=0 Не решая уравнения, найти значение выражения X1^2+X2^2 Распишите...

Общее значение выражения X1^2 + X2^2 равно квадрату суммы корней минус удвоенному произведению корней. То есть (X1 + X2)^2 - 2X1X2.

Чтобы найти значение выражения (x_1^2 + x_2^2), не решая уравнения (x^2 - 4x - 7 = 0), мы можем воспользоваться теоремой Виета и некоторыми алгебраическими преобразованиями.

Теорема Виета гласит, что для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) корни (x_1) и (x_2) связаны следующими соотношениями:

1. (x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})
2. (x_1 x_2 = \frac{c}{a})

В нашем уравнении (x^2 - 4x - 7 = 0):

• (a = 1)
• (b = -4)
• (c = -7)

Применим теорему Виета:

1. (x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4)
2. (x_1 x_2 = \frac{-7}{1} = -7)

Теперь выразим (x_1^2 + x_2^2) через суммы и произведения корней. Мы знаем, что: [ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2 ]

Отсюда: [ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 ]

Подставим известные значения сумм и произведения корней: [ x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2 \cdot (-7) ] [ x_1^2 + x_2^2 = 16 + 14 ] [ x_1^2 + x_2^2 = 30 ]

Таким образом, значение выражения (x_1^2 + x_2^2) равно 30.

Для нахождения значения выражения x1^2 + x2^2 можно воспользоваться свойствами корней квадратного уравнения.

Известно, что сумма корней квадратного уравнения x1 + x2 = -(-4) = 4, а произведение корней x1 * x2 = -7.

Таким образом, мы можем использовать формулу квадрата суммы и произведения корней квадратного уравнения: (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 и подставить известные значения суммы и произведения корней:

4^2 = x1^2 + 2*(-7) + x2^2

16 = x1^2 - 14 + x2^2

x1^2 + x2^2 = 16 + 14

x1^2 + x2^2 = 30

Таким образом, значение выражения x1^2 + x2^2 равно 30.