Произведение цифр трехзначного натурального числа равно105. Найти наименьший общий делитель этого числа...

Наименьший общий делитель равен 3.

Для решения этой задачи сначала определим все трехзначные числа, произведение цифр которых равно 105. Затем найдём наименьший общий делитель $НОД$ этих чисел с числом 99.

1. Разложение 105 на множители: $105=3\times 5\times 7$

2. Подбор цифр: Нам нужно расположить множители 3, 5 и 7 так, чтобы они составляли цифры трехзначного числа. Однако, стоит помнить, что трехзначные числа могут включать не только 3, 5 и 7, но и другие множители, которые в произведении дадут 105.

   Возможные разложения:

   • $1,5,21$: не подходит, так как 21 не цифра.
   • $3,5,7$: цифры 3, 5 и 7.
   • $3,15,7$: не подходит, так как 15 не цифра.
   • $5,3,7$: цифры 3, 5 и 7.
   • $7,3,5$: цифры 3, 5 и 7.
   • $15,7$: не подходит, так как 15 не цифра.

   Таким образом, единственное подходящее разложение для цифр трехзначного числа — это 3, 5 и 7.

3. Перебор всех возможных трехзначных чисел: Возможные трехзначные числа, составленные из цифр 3, 5 и 7:

   • 357
   • 375
   • 537
   • 573
   • 735
   • 753

4. Наименьший общий делитель с 99: Разложим 99 на простые множители: $99=3^2\times 11$

   Теперь проверим НОД каждого из чисел с 99:

   • НОД$357,99$ = 3
   • НОД$375,99$ = 3
   • НОД$537,99$ = 3
   • НОД$573,99$ = 3
   • НОД$735,99$ = 3
   • НОД$753,99$ = 3

   Во всех случаях наименьший общий делитель равен 3.

Таким образом, наименьший общий делитель любого трехзначного числа, произведение цифр которого равно 105, и числа 99 равен 3.

Для нахождения наименьшего общего делителя числа 99 и трехзначного числа, произведение цифр которого равно 105, нужно разложить оба числа на простые множители.

Сначала разложим число 99 на простые множители: 99 = 3 3 11

Теперь найдем такое трехзначное число, произведение цифр которого равно 105: 105 = 3 5 7

Из этих двух разложений мы видим, что общими множителями чисел 99 и 105 являются только множители 3. Таким образом, наименьший общий делитель числа 99 и трехзначного числа, произведение цифр которого равно 105, равен 3.