Придумайте четыре таких числа, чтобы их среднее арифметическое было равно второму числу. какая закономерность...

Давайте разберем задачу подробно.

Условие:

Нужно найти четыре числа ( a, b, c, d ), такие, чтобы их среднее арифметическое равнялось второму числу ( b ). То есть:

[ \frac{a + b + c + d}{4} = b ]

Уравнение:

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

[ a + b + c + d = 4b ]

Перепишем уравнение так, чтобы выразить сумму остальных чисел через ( b ):

[ a + c + d = 3b ]

Анализ:

Теперь видим, что сумма чисел ( a, c, d ) должна быть равна трём значениям числа ( b ). Это даёт нам свободу выбора для чисел ( a, c, d ), при условии, что их сумма равна ( 3b ).

Пример:

Пусть ( b = 6 ). Тогда:

[ a + c + d = 3 \cdot 6 = 18 ]

Теперь выберем любые три числа, сумма которых равна 18, например:

• ( a = 5 ),
• ( c = 7 ),
• ( d = 6 ).

Тогда наш ряд чисел: ( 5, 6, 7, 6 ).

Проверим:

[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{5 + 6 + 7 + 6}{4} = \frac{24}{4} = 6, ]

что действительно равно второму числу ( b = 6 ).

Общая закономерность:

Для любого числа ( b ), чтобы среднее арифметическое четырёх чисел было равно второму числу ( b ), три остальных числа ( a, c, d ) должны в сумме давать ( 3b ). Это основное правило.

Формально:

[ a + c + d = 3b. ]

Таким образом, можно свободно варьировать ( a, c, d ), соблюдая это условие.

Ещё примеры:

1. Пусть ( b = 10 ). Тогда ( a + c + d = 3 \cdot 10 = 30 ). Выберем:

   • ( a = 12 ),
   • ( c = 8 ),
   • ( d = 10 ).

   Ряд: ( 12, 10, 8, 10 ).

   Проверка: [ \frac{12 + 10 + 8 + 10}{4} = \frac{40}{4} = 10. ]

2. Пусть ( b = -3 ). Тогда ( a + c + d = 3 \cdot (-3) = -9 ). Выберем:

   • ( a = -5 ),
   • ( c = -2 ),
   • ( d = -2 ).

   Ряд: ( -5, -3, -2, -2 ).

   Проверка: [ \frac{-5 + (-3) + (-2) + (-2)}{4} = \frac{-12}{4} = -3. ]

Вывод:

Закономерность такого ряда заключается в том, что три числа (( a, c, d )) должны суммироваться в ( 3b ), где ( b ) — это второе число, равное среднему арифметическому ряда.

Пусть числа будут ( x_1, x_2, x_3, x_4 ). Чтобы среднее арифметическое было равно второму числу ( x_2 ), должно выполняться следующее уравнение:

[ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = x_2 ]

Умножив обе стороны на 4, получаем:

[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4x_2 ]

Отсюда следует:

[ x_1 + x_3 + x_4 = 3x_2 ]

Пример чисел: ( 2, 4, 6, 8 ).

Здесь ( x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = 6, x_4 = 8 ). Среднее арифметическое равно ( 4 ).

Закономерность: сумма первых и третьих чисел равна тройному значению второго числа.

Для того чтобы четыре числа имели среднее арифметическое, равное второму числу, давайте обозначим эти числа как ( a_1, a_2, a_3, a_4 ). По определению, среднее арифметическое четырёх чисел рассчитывается следующим образом:

[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} ]

Мы хотим, чтобы среднее арифметическое этих чисел было равно ( a_2 ). Это можно записать в виде уравнения:

[ \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = a_2 ]

Умножим обе стороны на 4:

[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4a_2 ]

Теперь перенесём ( a_2 ) на правую сторону:

[ a_1 + a_3 + a_4 = 4a_2 - a_2 ]

Упростим:

[ a_1 + a_3 + a_4 = 3a_2 ]

Теперь мы можем выбрать значения для ( a_2 ), а затем найти соответствующие ( a_1, a_3 ) и ( a_4 ), чтобы выполнялось это уравнение.

Пример:

1. Пусть ( a_2 = 2 ).
2. Тогда нам нужно, чтобы ( a_1 + a_3 + a_4 = 3 \times 2 = 6 ).

Можно выбрать, например:

• ( a_1 = 1 )
• ( a_3 = 2 )
• ( a_4 = 3 )

Проверим:

[ 1 + 2 + 3 = 6 ]

В этом случае числа будут ( 1, 2, 2, 3 ). Среднее арифметическое:

[ \frac{1 + 2 + 2 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 ]

Теперь давайте посмотрим на закономерность. Мы видим, что:

• Сумма первых и третьих чисел ( a_1 ) и ( a_3 ), а также четвёртого числа ( a_4 ) всегда должна равняться ( 3 \times a_2 ).
• Это означает, что ( a_1 ) и ( a_3 ) могут быть выбраны произвольно, а ( a_4 ) можно вычислить как ( a_4 = 3a_2 - a_1 - a_3 ).

Таким образом, любые четыре числа, которые соответствуют этому правилу, будут иметь среднее арифметическое, равное второму числу. Основная закономерность заключается в том, что сумма первых, третьих и четвёртого чисел должна равняться тройному значению второго числа.