При сложении двух четырехзначных чисел получилось четырехзначное число, известно, что если сложить первую...

Давайте разберемся с этим вопросом шаг за шагом.

Дано:

1. Мы складываем два четырёхзначных числа, и их сумма тоже является четырёхзначным числом. Это значит, что сумма не превышает 9999.
2. Первое слагаемое — четырёхзначное число, обозначим его как ( A ), и его первая и последняя цифры в сумме дают 5. Обозначим первую цифру ( a ) (тысячи), а последнюю цифру ( d ) (единицы). Тогда: [ a + d = 5 ]
3. Второе слагаемое — четырёхзначное число, обозначим его как ( B ), и оно начинается с цифры 8. Это значит, что первая цифра ( b ) (тысячи) равна 8.
4. Нужно выяснить, какой цифрой оканчивается первое слагаемое (( d )).

Анализ:

1. Проверим ограничения на сумму.

   • Сумма двух четырёхзначных чисел (( A + B )) также является четырёхзначным числом. Это возможно, только если сумма ( A + B \leq 9999 ).
   • Если ( B ) начинается с 8, то его минимальное значение равно 8000 (например, ( B = 8000 )).
   • Таким образом, ( A ) должно быть достаточно малым, чтобы сумма ( A + B ) не "перепрыгнула" за 9999. То есть: [ A \leq 9999 - 8000 = 1999 ] Однако это противоречит тому, что ( A ) — четырёхзначное число, так как четырёхзначные числа начинаются с 1000. Поэтому ( B ) должен быть больше 8000, но не настолько, чтобы сумма превысила 9999.

2. Поиск условий для цифр.

   • ( A ) — четырёхзначное число, и его первая цифра ( a ) должна быть от 1 до 9 (так как это старшая цифра четырёхзначного числа).
   • Последняя цифра ( d ) должна быть от 0 до 9. Если ( a + d = 5 ), то возможные пары ( (a, d) ) таковы: [ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0) ] То есть ( d ) может быть равным 4, 3, 2, 1 или 0.

3. Влияние на сумму.

   • Если ( B ) начинается с 8, то ( B = 8000 + x ), где ( x ) — трёхзначное число (например, ( B = 8100, 8200 ) и т.д.).
   • Тогда сумма ( A + B ) станет четырёхзначным числом, начинающимся с 8 или 9 (так как ( B ) велико, а ( A ) — относительно меньшее четырёхзначное число).

4. Ограничение на последнюю цифру.

   • Последняя цифра суммы ( A + B ) зависит от последней цифры ( A ) (то есть ( d )) и последней цифры ( B ) (назовём её ( y )).
   • Последняя цифра суммы равна: [ (d + y) \mod 10 ]
   • Поскольку ( A + B ) — четырёхзначное число, комбинация цифр ( d ) и ( y ) должна быть такой, чтобы результат не стал пятизначным (то есть не возникло "лишнего" разряда).

Решение:

1. ( B ) начинается с 8, значит, ( B \geq 8000 ).
2. Для того чтобы сумма ( A + B ) была четырёхзначной, ( A ) должно быть достаточно малым, но всё ещё четырёхзначным. Например, ( A = 1000, 1500, ) и т.д.

3. Последняя цифра ( A ) (то есть ( d )) зависит от того, как цифры суммируются. Однако ключевым условием остаётся ( a + d = 5 ). Рассмотрим все возможные ( d ):

   • Если ( a = 1 ), то ( d = 4 ).
   • Если ( a = 2 ), то ( d = 3 ).
   • Если ( a = 3 ), то ( d = 2 ).
   • Если ( a = 4 ), то ( d = 1 ).
   • Если ( a = 5 ), то ( d = 0 ).

4. Однако, поскольку ( B ) начинается с 8, ( A ) и ( B ) должны быть подобраны так, чтобы сумма не превышала 9999. Проверка различных комбинаций показывает, что единственно возможное значение для ( d ), удовлетворяющее всем условиям, — это: [ \boxed{4} ]

Таким образом, первое слагаемое оканчивается на цифру 4.

Рассмотрим условия задачи более подробно. У нас есть два четырехзначных числа, обозначим их как ( abcd ) и ( 8xyz ), где ( a, b, c, d, x, y, z ) — это отдельные цифры, а ( a ) не может быть равным 0, так как это четырехзначное число.

1. Сложение двух четырехзначных чисел: Если мы сложим ( abcd ) и ( 8xyz ), то результатом будет также четырехзначное число. Это означает, что сумма не может превышать 9999. Поскольку второе слагаемое начинается с 8, это означает, что сумма значений первых разрядов (тысячи) обязательно будет равна 1 (в случае, если сумма приводит к переносу) или 0 (если перенос отсутствует).

2. Сумма первой и последней цифр первого слагаемого: Из условия известно, что ( a + d = 5 ). Это значит, что ( d = 5 - a ). Поскольку ( a ) — это первая цифра и может принимать значения от 1 до 9, мы можем определить возможные значения для ( d ):

   • Если ( a = 1 ), то ( d = 4 )
   • Если ( a = 2 ), то ( d = 3 )
   • Если ( a = 3 ), то ( d = 2 )
   • Если ( a = 4 ), то ( d = 1 )
   • Если ( a = 5 ), то ( d = 0 )
   • Значения ( a ) от 6 до 9 не подходят, так как в этом случае ( d ) будет отрицательной цифрой.

Таким образом, возможные пары ( (a, d) ):

• ( (1, 4) )
• ( (2, 3) )
• ( (3, 2) )
• ( (4, 1) )
• ( (5, 0) )

1. Сложение и начало второго слагаемого: Поскольку второе слагаемое начинается с 8, это влияет на сумму. Однако, поскольку у нас нет конкретных ограничений на ( b ) и ( c ), мы можем их оставить неопределёнными. Важно лишь помнить, что сумма ( abcd + 8xyz ) должна оставаться четырехзначной.

Теперь мы можем подытожить. В результате анализа условий задачи, мы можем заключить, что ( d ) может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4, в зависимости от значения ( a ). Но поскольку ( d ) - это последняя цифра первого слагаемого, и мы знаем, что ( a + d = 5 ), мы можем просто перечислить возможные значения для ( d ):

• При ( a = 1 ), ( d = 4 )
• При ( a = 2 ), ( d = 3 )
• При ( a = 3 ), ( d = 2 )
• При ( a = 4 ), ( d = 1 )
• При ( a = 5 ), ( d = 0 )

Таким образом, окончательные возможные значения ( d ) (последней цифры первого слагаемого) — это 0, 1, 2, 3, или 4.

Пусть первое слагаемое обозначим как ( abcd ), а второе как ( 8xyz ).

Согласно условию, ( a + d = 5 ).

Поскольку сумма двух четырехзначных чисел остается четырехзначной, сумма первых цифр ( a + 8 ) должна быть меньше 10, что означает, что ( a ) может быть равной 1 или 2 (так как 3 и выше приведут к пятизначному результату).

1. Если ( a = 1 ), тогда ( d = 4 ) (так как ( 1 + d = 5 )).
2. Если ( a = 2 ), тогда ( d = 3 ) (так как ( 2 + d = 5 )).

Таким образом, первое слагаемое может оканчиваться на 4 или 3. Но так как второе слагаемое начинается на 8, сумма ( 1+8=9 ) и ( 2+8=10 ) показывает, что только ( a=1 ) (т.е. ( d=4 )) допускает, что сумма остается четырехзначной.

Следовательно, первое слагаемое оканчивается на 4.