При каких значениях λ матрица А не имеет обратной А = |λ 4 1| |2 5 -1| |1 λ 1|

Для нахождения значений (\lambda), при которых матрица (A) не имеет обратной, нужно рассмотреть свойство обратимости матрицы. Квадратная матрица (A) не имеет обратной, если её определитель равен нулю ((\det(A) = 0)).

Матрица (A) задана как:

[ A = \begin{bmatrix} \lambda & 4 & 1 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & \lambda & 1 \end{bmatrix}. ]

Для вычисления определителя воспользуемся формулой для определителя матрицы 3×3:

[ \det(A) = \begin{vmatrix} \lambda & 4 & 1 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & \lambda & 1

\end{vmatrix}

\lambda \begin{vmatrix} 5 & -1 \ \lambda & 1 \end{vmatrix}

• 4 \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}
  • 1 \begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & \lambda \end{vmatrix}. ]

Теперь вычислим каждый из трёх миноров второго порядка:

1. (\begin{vmatrix} 5 & -1 \ \lambda & 1 \end{vmatrix} = (5)(1) - (-1)(\lambda) = 5 + \lambda = 5 + \lambda),
2. (\begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3),
3. (\begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & \lambda \end{vmatrix} = (2)(\lambda) - (5)(1) = 2\lambda - 5).

Подставим результаты в формулу для определителя:

[ \det(A) = \lambda(5 + \lambda) - 4(3) + 1(2\lambda - 5). ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

[ \det(A) = \lambda(5 + \lambda) - 12 + 2\lambda - 5, ]

[ \det(A) = 5\lambda + \lambda^2 - 12 + 2\lambda - 5, ]

[ \det(A) = \lambda^2 + 7\lambda - 17. ]

Матрица (A) не имеет обратной, если (\det(A) = 0). Таким образом, нужно решить квадратное уравнение:

[ \lambda^2 + 7\lambda - 17 = 0. ]

Решение квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения (\lambda^2 + 7\lambda - 17 = 0) используем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac, ]

где (a = 1), (b = 7), (c = -17). Подставим значения:

[ D = 7^2 - 4(1)(-17) = 49 + 68 = 117. ]

Так как дискриминант положительный ((D > 0)), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле:

[ \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения:

[ \lambda_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{117}}{2}. ]

Окончательно:

[ \lambda_1 = \frac{-7 + \sqrt{117}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{-7 - \sqrt{117}}{2}. ]

Ответ:

Матрица (A) не имеет обратной при (\lambda = \frac{-7 + \sqrt{117}}{2}) или (\lambda = \frac{-7 - \sqrt{117}}{2}).

Чтобы определить, при каких значениях (\lambda) матрица (A) не имеет обратной матрицы, необходимо найти ее определитель и установить, при каких значениях (\lambda) он равен нулю. Матрица (A) имеет вид:

[ A = \begin{pmatrix} \lambda & 4 & 1 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} ]

Определитель матрицы (A) можно вычислить по формуле для определителя 3x3 матрицы:

[ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) ]

где:

• (a, b, c) — элементы первой строки,
• (d, e, f) — элементы второй строки,
• (g, h, i) — элементы третьей строки.

Подставляем значения из матрицы (A):

[ \text{det}(A) = \lambda \cdot (5 \cdot 1 - (-1) \cdot \lambda) - 4 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot \lambda - 5 \cdot 1) ]

Теперь вычислим каждый из этих множителей:

1. (5 \cdot 1 - (-1) \cdot \lambda = 5 + \lambda)
2. (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 2 + 1 = 3)
3. (2 \cdot \lambda - 5 \cdot 1 = 2\lambda - 5)

Подставим их обратно в определитель:

[ \text{det}(A) = \lambda(5 + \lambda) - 4 \cdot 3 + (2\lambda - 5) ]

Упрощаем:

[ \text{det}(A) = \lambda^2 + 5\lambda - 12 + 2\lambda - 5 ] [ \text{det}(A) = \lambda^2 + 7\lambda - 17 ]

Теперь нам нужно найти значения (\lambda), при которых (\text{det}(A) = 0):

[ \lambda^2 + 7\lambda - 17 = 0 ]

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:

[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 49 + 68 = 117 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Находим их с помощью формулы:

[ \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{117}}{2} ]

Следовательно, значения (\lambda), при которых матрица (A) не имеет обратной матрицы (то есть при которых определитель равен нулю), равны:

[ \lambda{1} = \frac{-7 + \sqrt{117}}{2}, \quad \lambda{2} = \frac{-7 - \sqrt{117}}{2} ]

Таким образом, матрица (A) не имеет обратной при (\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{117}}{2}).