Преобразуйте выражения: А) sin a ctg a Б) tg a cos a Г) tg a ctg a -1 Д) tg a/ctg a +1 Е) sin^2 a -1/1-cos^2...

А) sin a ctg a = sin a * (1/tan a) = sin a / tan a = cot a

Б) tg a cos a = (sin a / cos a) * cos a = sin a

В) tg a ctg a -1 = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) - 1 = 1 - 1 = 0

Г) tg a/ctg a +1 = (sin a / cos a) / (cos a / sin a) + 1 = (sin^2 a / cos^2 a) + 1 = (1/cos^2 a) + 1 = sec^2 a + 1

Д) sin^2 a -1/1-cos^2 a = sin^2 a - 1 / sin^2 a = (sin a + 1)(sin a - 1) / sin^2 a = (sin a + 1)(sin a - 1) / sin a * sin a = (sin a + 1)(sin a - 1) / sin^2 a

А) sin a ctg a = sin a / tan a = sin a / (sin a / cos a) = cos a Б) tg a cos a = sin a / cos a cos a = sin a Г) tg a ctg a - 1 = sin a / cos a cos a / sin a - 1 = 1 - 1 = 0 Д) tg a / ctg a + 1 = sin a / (sin a / cos a) + 1 = cos a + 1 Е) sin^2 a - 1 / 1 - cos^2 a = sin^2 a - 1 / sin^2 a = -1

Давайте поочередно преобразуем каждое из данных выражений, используя основные тригонометрические тождества и свойства.

А) ( \sin a \cdot \cot a )

Используем определение котангенса через синус и косинус: [ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ] Тогда: [ \sin a \cdot \cot a = \sin a \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \cos a ]

Б) ( \tan a \cdot \cos a )

Используем определение тангенса через синус и косинус: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] Тогда: [ \tan a \cdot \cos a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \cos a = \sin a ]

Г) ( \tan a \cdot \cot a - 1 )

Так как ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ) и ( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ), то: [ \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1 ] Тогда: [ \tan a \cdot \cot a - 1 = 1 - 1 = 0 ]

Д) ( \frac{\tan a}{\cot a} + 1 )

Используя связь между тангенсом и котангенсом: [ \cot a = \frac{1}{\tan a} ] Тогда: [ \frac{\tan a}{\cot a} = \frac{\tan a}{\frac{1}{\tan a}} = \tan^2 a ] Следовательно: [ \frac{\tan a}{\cot a} + 1 = \tan^2 a + 1 ]

Е) ( \frac{\sin^2 a - 1}{1 - \cos^2 a} )

Используем пирамидальное тождество ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ). Тогда: [ \sin^2 a - 1 = -\cos^2 a ] [ 1 - \cos^2 a = \sin^2 a ] Таким образом: [ \frac{\sin^2 a - 1}{1 - \cos^2 a} = \frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^2 a ]

Эти преобразования помогают упростить и понять структуру данных тригонометрических выражений.