Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно,...

Для решения этой задачи можно использовать свойство подобия треугольников. Опустим перпендикуляры из точек M и N на прямую AC, обозначим точки пересечения как P и Q соответственно. Таким образом, прямые MP и NQ будут параллельны AC и, следовательно, MP = NQ.

Так как MN параллельна AC, треугольник AMN подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠AMN = ∠ABC и ∠ANM = ∠ACB, так как соответствующие углы при параллельных прямых и секущей.

Обозначим AM = x. Тогда длина MB будет равна AB - AM = 9 - x. Поскольку треугольники подобны, отношения соответствующих сторон равны: [ \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} ] [ \frac{x}{9} = \frac{8}{18} ] [ \frac{x}{9} = \frac{4}{9} ]

Отсюда, x = 4. Таким образом, AM = 4.

AM = 6

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Обозначим точку пересечения прямой MN с стороной AC за K. Так как треугольники ABC и AMK подобны, то отношение длин отрезков сторон в этих треугольниках будет одинаковым.

Из подобия треугольников AMK и ABC получаем:

AM/AB = MK/BC

AM/9 = (AC - MN)/BC

AM/9 = (18 - 8)/BC

AM/9 = 10/BC

BC = 10*9/AM

BC = 90/AM

Также из подобия треугольников ANM и ABC получаем:

AN/AB = NM/BC

AN/9 = 8/(90/AM)

AN/9 = 8*AM/90

AN = 8AM/10

AN = 4AM/5

Из условия задачи также известно, что AN + NM = AM:

4AM/5 + 8 = AM

4AM + 40 = 5AM

40 = AM

Ответ: AM = 40.