Постройте график функции y=2sinx.какова область значения этой функции?

Для построения графика функции y=2sinx мы можем использовать координатную плоскость, где по оси абсцисс (горизонтальная ось) откладываем углы x, а по оси ординат (вертикальная ось) откладываем значения функции y=2sinx.

График функции y=2sinx представляет собой периодическую волнообразную кривую, которая проходит через точку (0,0) и имеет пики и минимумы при значениях x, кратных pi/2. Таким образом, график будет повторяться каждые 2pi (период функции sinx).

Область значений функции y=2sinx - это множество всех возможных значений, которые может принимать функция при всех допустимых значениях аргумента x. Учитывая, что амплитуда функции равна 2, а значение синуса всегда находится в интервале [-1,1], то область значений функции y=2sinx будет лежать в интервале [-2,2]. Другими словами, значения функции y=2sinx будут изменяться от -2 до 2 включительно.

Для построения графика функции ( y = 2 \sin x ) и определения её области значений начнем с анализа самой функции.

1. Базовые характеристики функции:

   • Функция ( y = 2 \sin x ) представляет собой тригонометрическую функцию синус, умноженную на 2.
   • Функция периодична с периодом ( T = 2\pi ).
   • Функция четная, т.е. ( 2 \sin(-x) = 2 \sin x ).

2. Область определения функции:

   • Синус определен для всех вещественных чисел, следовательно, область определения функции ( y = 2 \sin x ) — множество всех вещественных чисел, то есть ( \mathbb{R} ).

3. Область значения функции:

   • Так как обычная функция синус ( \sin x ) имеет область значений от -1 до 1, умножение на 2 изменяет эту область значений. Теперь она будет от -2 до 2, то есть ( [-2, 2] ).

4. График функции:

   • График функции ( y = 2 \sin x ) можно получить, умножив вертикальные значения стандартного графика синуса на 2. Таким образом, амплитуда волн становится равной 2 (вместо стандартной 1).
   • График будет пересекать ось x в точках ( x = k\pi ), где ( k ) — целое число, и достигать максимумов и минимумов в точках ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ) со значениями 2 и -2 соответственно.

Пример построения:

• Начертите горизонтальную ось x и вертикальную ось y.
• Отметьте на оси y точки 2 и -2.
• График будет периодически повторяться каждые ( 2\pi ) единиц по оси x.
• В точках ( x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots ) график будет пересекать ось x.
• В точках ( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots ) график достигнет верхних точек в 2, а в точках ( x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \ldots ) — нижних точек в -2.

Это описание и построение графика помогает визуализировать и понять поведение функции ( y = 2 \sin x ) и её основные свойства.