Постройте график функции y=1/2(|x/1,5-1,5/x|+x/1,5+1,5/x) и определите при каких значениях m прямая...

Для начала построим график функции y=1/2(|x/1,5-1,5/x|+x/1,5+1,5/x). Для удобства, разделим эту функцию на две части:

1. |x/1,5-1,5/x| - это модуль разности двух выражений: x/1,5 и 1,5/x.
2. x/1,5+1,5/x - это сумма двух выражений: x/1,5 и 1,5/x.

Теперь можем построить график:

1. График функции |x/1,5-1,5/x| будет иметь пики в точках x=1,5 и x=-1,5, так как модуль всегда положителен. Этот график будет симметричен относительно оси Oy.
2. График функции x/1,5+1,5/x - это гипербола, которая будет иметь асимптоты x=0 и y=0.

Теперь объединим эти два графика и получим график функции y=1/2(|x/1,5-1,5/x|+x/1,5+1,5/x).

Чтобы определить, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку, нужно найти точку пересечения прямой y=m с графиком функции y=1/2(|x/1,5-1,5/x|+x/1,5+1,5/x). Это можно сделать аналитически, подставив уравнения прямой и функции в уравнение y=m и решив полученное уравнение относительно x.

Таким образом, при решении данной задачи необходимо найти точку пересечения прямой y=m с графиком функции y=1/2(|x/1,5-1,5/x|+x/1,5+1,5/x) и найти значения m, при которых эта точка будет единственной.

Для того чтобы построить график функции ( y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{1.5} - \frac{1.5}{x} \right| + \frac{x}{1.5} + \frac{1.5}{x} \right) ), мы сначала упростим выражение внутри модуля и за его пределами.

1. Упростим выражение внутри модуля: [ \left| \frac{x}{1.5} - \frac{1.5}{x} \right| ] Чтобы избавиться от дробей, домножим на общий знаменатель (1.5x): [ \left| \frac{x^2 - (1.5)^2}{1.5x} \right| = \left| \frac{(x - 1.5)(x + 1.5)}{1.5x} \right| ]

2. Упростим полное выражение функции: [ y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{(x - 1.5)(x + 1.5)}{1.5x} \right| + \frac{x}{1.5} + \frac{1.5}{x} \right) ]

3. Рассмотрим поведение функции:

   • При (x > 0): [ y = \frac{1}{2} \left( \frac{|x^2 - 2.25|}{1.5x} + \frac{x}{1.5} + \frac{1.5}{x} \right) ]

   • Особые точки: (x = \pm 1.5) и (x = 0) (так как при (x = 0) функция не определена).

4. Исследуем пересечение с прямой (y = m):

   Прямая (y = m) пересекает график функции (y) в одной точке, если уравнение: [ \frac{1}{2} \left( \left| \frac{(x - 1.5)(x + 1.5)}{1.5x} \right| + \frac{x}{1.5} + \frac{1.5}{x} \right) = m ] имеет единственное решение.

5. Анализируем:

   • (x = 1.5) и (x = -1.5) могут быть точками, где функция меняет характер, так как в этих точках модуль меняет знак.
   • При (x \to 0^+) и (x \to 0^-), функция стремится к бесконечности из-за члена (\frac{1.5}{x}).

6. Границы функции:

   • При (x \to \infty), (y \to 1).
   • При (x = 1.5), (y = 2).

7. Вывод:

   Прямая (y = m) будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком функции, если (m) равно значению функции в экстремальных точках или на концах областей определения, где они достигаются единожды. Это возможно в точке максимума (m = 2) и минимальной границы, стремящейся к 1 (но не достигается в конечном значении).

Таким образом, (m = 2) и (m = 1) (при (x \to \infty)) являются значениями, при которых прямая (y = m) пересекает график функции ровно в одной точке.