Постройте график функции у=х^2−|4x+1|и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком...

Для начала построим график функции y = x^2 - |4x + 1|.

1. Рассмотрим поведение функции при x < -1. При x < -1 модуль |4x + 1| превращается в -(4x + 1), поэтому функция будет иметь вид y = x^2 - (-4x - 1) = x^2 + 4x + 1. Это квадратичная функция с вершиной в точке (-2, 5). График данной функции будет открываться вверх.

2. Рассмотрим поведение функции при -1 < x < 1. При -1 < x < 1 модуль |4x + 1| равен (4x + 1), поэтому функция будет иметь вид y = x^2 - (4x + 1) = x^2 - 4x - 1. Это также квадратичная функция, но уже с вершиной в точке (2, -1). График данной функции также будет открываться вверх.

3. Рассмотрим поведение функции при x > 1. При x > 1 модуль |4x + 1| снова превращается в -(4x + 1), поэтому функция будет иметь вид y = x^2 - (-4x - 1) = x^2 + 4x + 1. Это квадратичная функция с вершиной в точке (-2, 5), такая же как и при x < -1.

Теперь рассмотрим прямую y = m. Чтобы эта прямая имела с графиком функции y = x^2 - |4x + 1| ровно три общие точки, она должна пересекать график функции на трех различных участках, где график функции меняет свое поведение.

1. Пересечение на участке x < -1: На этом участке график функции имеет вид y = x^2 + 4x + 1. Прямая y = m должна пересечь график функции на этом участке, чтобы имелось одно пересечение.

2. Пересечение на участке -1 < x < 1: На этом участке график функции имеет вид y = x^2 - 4x - 1. Прямая y = m должна пересечь график функции на этом участке, чтобы имелось второе пересечение.

3. Пересечение на участке x > 1: На этом участке график функции снова имеет вид y = x^2 + 4x + 1. Прямая y = m должна пересечь график функции на этом участке, чтобы имелось третье пересечение.

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком функции y = x^2 - |4x + 1| ровно три общие точки при значениях m, при которых она пересекает график функции на каждом из трех участков, где график меняет свое поведение.

Для того чтобы построить график функции ( y = x^2 - |4x + 1| ) и определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно три общие точки, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Разбиение функции на кусочные области

Функция ( y = x^2 - |4x + 1| ) содержит модуль, который необходимо раскрыть для разных областей значений ( x ). Модуль ( |4x + 1| ) изменяется в зависимости от знака выражения под ним:

1. Если ( 4x + 1 \geq 0 ), то: ( |4x + 1| = 4x + 1 )
   • В этом случае функция принимает вид: [ y = x^2 - (4x + 1) = x^2 - 4x - 1 ]
2. Если ( 4x + 1 < 0 ), то: ( |4x + 1| = -(4x + 1) = -4x - 1 )
   • В этом случае функция принимает вид: [ y = x^2 - (-4x - 1) = x^2 + 4x + 1 ]

Граница между этими областями определяется из условия ( 4x + 1 = 0 ), откуда ( x = -\frac{1}{4} ).

Шаг 2: Построение графика функции

Теперь мы имеем две квадратичные функции:

• Для ( x \geq -\frac{1}{4} ): ( y = x^2 - 4x - 1 )
• Для ( x < -\frac{1}{4} ): ( y = x^2 + 4x + 1 )

Каждая из этих функций является параболой. Найдем вершины и основные характеристики каждой из них.

Парабола ( y = x^2 - 4x - 1 )

• Вершина находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = 1 ), ( b = -4 ).
• Вершина: ( x = \frac{4}{2} = 2 )
• Значение в вершине: ( y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 )

Парабола ( y = x^2 + 4x + 1 )

• Вершина: ( x = -\frac{4}{2} = -2 )
• Значение в вершине: ( y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 )

Шаг 3: Определение количества точек пересечения

Прямая ( y = m ) пересекает график функции в точках, где ( x^2 - |4x + 1| = m ).

Условие для трех точек пересечения

Для нахождения условий, при которых прямая имеет ровно три точки пересечения с графиком, нужно учитывать пересечение каждой из частей парабол.

1. На границе ( x = -\frac{1}{4} ) обе функции дают одинаковое значение: [ y = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - |4 \cdot -\frac{1}{4} + 1| = \frac{1}{16} - 0 = \frac{1}{16} ] Это значение важно для понимания поведения функции на стыке.

2. Рассмотрим пересечение с каждой из парабол отдельно:

   • Для первой параболы ( y = x^2 - 4x - 1 ) и второй ( y = x^2 + 4x + 1 ), определим условия, при которых одна прямая пересекает одну параболу в двух точках, а другую — в одной, и наоборот.

3. Рассмотрим условия пересечения:

   • Находим дискриминант уравнений для пересечения каждой из парабол с прямой ( y = m ):
     • ( x^2 - 4x - 1 = m ) и ( x^2 + 4x + 1 = m )
   • Для первой: [ x^2 - 4x - (1 + m) = 0 \implies D_1 = 16 - 4(1 + m) = 12 - 4m ]
   • Для второй: [ x^2 + 4x + (1 - m) = 0 \implies D_2 = 16 - 4(1 - m) = 12 + 4m ]

4. Анализ дискриминантов:

   • Для трех точек пересечения желательно, чтобы одно уравнение имело два решения, а другое — одно. Например, если для первой параболы дискриминант положителен (два решения), а для второй равен нулю (одно решение на стыке), и наоборот.
   • Решаем ( 12 - 4m = 0 ) или ( 12 + 4m = 0 ) для точного стыка.
   • ( 12 - 4m = 0 \Rightarrow m = 3 )
   • ( 12 + 4m = 0 \Rightarrow m = -3 )

Таким образом, прямая ( y = m ) будет пересекать график функции ровно в трех точках при ( m = -3 ) или ( m = 3 ).