Постройте график функции у= 1/x^2 и опишите её свойства.

График функции ( y = \frac{1}{x^2} ) представляет собой кривую, которая называется гиперболой. Для построения этого графика можно использовать следующие шаги:

1. Определение области определения: функция ( y = \frac{1}{x^2} ) определена для всех ( x ) за исключением ( x = 0 ), поскольку деление на ноль не определено. Таким образом, область определения функции: ( \mathbb{R} \setminus {0} ) или ( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) ).

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x = 0 ). При стремлении ( x ) к нулю справа или слева, ( y ) стремится к бесконечности.
   • Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ). При стремлении ( x ) к ( \pm \infty ), значение ( y ) приближается к нулю.

3. Поведение функции:

   • Функция симметрична относительно оси ( y ), так как ( \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-x)^2} ).
   • Функция всегда положительна, ( y > 0 ) для всех ( x \neq 0 ).
   • ( y ) стремится к бесконечности при ( x ) стремящемся к нулю, и ( y ) стремится к нулю при ( x ) стремящемся к бесконечности.

4. Производная и точки экстремума:

   • Первая производная: ( y' = -\frac{2}{x^3} ). Она показывает, что функция убывает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (0, \infty) ), и не имеет локальных максимумов или минимумов, так как производная не обращается в ноль.

5. Вторая производная и выпуклость:

   • Вторая производная: ( y'' = \frac{6}{x^4} ). Она положительна на обеих частях области определения, что указывает на выпуклость вверх графика на всём промежутке определения.

Для наглядности можно построить таблицу значений, выбрав несколько точек и рассчитав соответствующие значения ( y ):

• ( x = -2, -1, -0.5, 0.5, 1, 2 );
• ( y = 0.25, 1, 4, 4, 1, 0.25 ).

Соединив эти точки, получим график, который будет стремиться к бесконечности при приближении к нулю и к нулю при удалении от нуля, формируя две ветви гиперболы, расположенные в первом и третьем квадрантах соответственно.

Функция y = 1/x^2 является гиперболой симметричной относительно обеих осей координат. График функции представляет собой две ветви, которые стремятся к осям координат, но никогда их не достигают.

Свойства функции y = 1/x^2:

1. Область определения функции: D = {x ∈ R : x ≠ 0}.
2. Функция является четной, так как y(-x) = 1/(-x)^2 = 1/x^2 = y(x).
3. График функции проходит через точку (1,1) и имеет асимптоты y = 0 (ось абсцисс) и x = 0 (ось ординат).
4. Функция убывает при x > 0 и возрастает при x < 0.
5. Функция неограниченно приближается к нулю при x → ±∞.
6. Нули функции отсутствуют, так как 1/x^2 никогда не равно нулю.
7. Функция не ограничена сверху и снизу.
8. График функции не пересекает оси координат и никогда не достигает нуля.

Таким образом, функция y = 1/x^2 имеет ряд интересных свойств, которые делают её удобной для анализа и решения математических задач.