Построить векторы: 1/2 a+ 2b 3b-a

Для построения векторов, указанных в вашем вопросе, давайте рассмотрим их более подробно. Пусть у нас есть два вектора ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) в пространстве, например, в двумерном или трехмерном. Для наглядности, предположим, что:

[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix} ]

Теперь мы можем построить два новых вектора, используя указанные вами выражения.

1. Построение вектора ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} )

Сначала вычислим каждый компонент вектора:

1. Умножим вектор ( \mathbf{a} ) на ( \frac{1}{2} ): [ \frac{1}{2} \mathbf{a} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} a_1 \ \frac{1}{2} a_2 \end{pmatrix} ]

2. Умножим вектор ( \mathbf{b} ) на ( 2 ): [ 2\mathbf{b} = 2 \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b_1 \ 2b_2 \end{pmatrix} ]

3. Теперь сложим эти два результата: [ \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} a_1 + 2b_1 \ \frac{1}{2} a_2 + 2b_2 \end{pmatrix} ]

Таким образом, вектор ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ) представлен в виде: [ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} a_1 + 2b_1 \ \frac{1}{2} a_2 + 2b_2 \end{pmatrix} ]

2. Построение вектора ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} )

Теперь перейдем ко второму вектору:

1. Умножим вектор ( \mathbf{b} ) на ( 3 ): [ 3\mathbf{b} = 3 \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b_1 \ 3b_2 \end{pmatrix} ]

2. Теперь вычтем вектор ( \mathbf{a} ): [ 3\mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3b_1 \ 3b_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b_1 - a_1 \ 3b_2 - a_2 \end{pmatrix} ]

Таким образом, вектор ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} ) представлен в виде: [ \begin{pmatrix} 3b_1 - a_1 \ 3b_2 - a_2 \end{pmatrix} ]

Итоговые результаты

Теперь у нас есть два вектора:

1. ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} a_1 + 2b_1 \ \frac{1}{2} a_2 + 2b_2 \end{pmatrix} )
2. ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3b_1 - a_1 \ 3b_2 - a_2 \end{pmatrix} )

Эти векторы могут быть визуализированы в координатной системе, если известны конкретные значения для ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Чтобы построить векторы ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ) и ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} ), необходимо выполнить несколько последовательных шагов, которые включают как алгебраические преобразования, так и геометрическую интерпретацию. Рассмотрим это подробно.

1. Разберём, что представляет собой линейная комбинация векторов

Линейная комбинация векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) — это сумма векторов, умноженных на коэффициенты. Например: [ \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ] означает, что вектор ( \mathbf{a} ) берётся с коэффициентом ( \frac{1}{2} ), то есть укорачивается вдвое, а вектор ( \mathbf{b} ) увеличивается в 2 раза перед сложением.

2. Алгебраическое представление

Для построения этих векторов предполагаем, что ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) заданы в виде координат или направлений. Пусть: [ \mathbf{a} = (x_1, y_1), \quad \mathbf{b} = (x_2, y_2). ]

Вектор ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ):

Умножаем каждую компоненту ( \mathbf{a} ) на ( \frac{1}{2} ), а ( \mathbf{b} ) — на 2: [ \frac{1}{2} \mathbf{a} = \left( \frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2} \right), \quad 2\mathbf{b} = (2x_2, 2y_2). ] Складываем соответствующие компоненты: [ \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} = \left( \frac{x_1}{2} + 2x_2, \frac{y_1}{2} + 2y_2 \right). ]

Вектор ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} ):

Умножаем компоненты ( \mathbf{b} ) на 3 и вычитаем ( \mathbf{a} ): [ 3\mathbf{b} = (3x_2, 3y_2), \quad -\mathbf{a} = (-x_1, -y_1). ] Складываем соответствующие компоненты: [ 3\mathbf{b} - \mathbf{a} = \left( 3x_2 - x_1, 3y_2 - y_1 \right). ]

3. Геометрическая интерпретация

Чтобы построить эти векторы, нужно выполнить следующие действия на координатной плоскости.

Построение ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ):

1. Постройте вектор ( \frac{1}{2} \mathbf{a} ), взяв половину длины вектора ( \mathbf{a} ) в том же направлении.
2. Постройте вектор ( 2\mathbf{b} ), удлинив ( \mathbf{b} ) в 2 раза.
3. Сложите эти два вектора, используя правило треугольника: от конца ( \frac{1}{2} \mathbf{a} ) отложите вектор ( 2\mathbf{b} ).

Построение ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} ):

1. Постройте ( 3\mathbf{b} ), удлинив вектор ( \mathbf{b} ) в 3 раза.
2. Постройте ( -\mathbf{a} ), отразив вектор ( \mathbf{a} ) относительно начала координат.
3. Сложите ( 3\mathbf{b} ) и ( -\mathbf{a} ) с использованием правила треугольника.

4. Итог

После выполнения всех вычислений и построений вы получите два новых вектора:

• ( \frac{1}{2} \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ) соответствует новому направлению и длине, зависящим от исходных ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
• ( 3\mathbf{b} - \mathbf{a} ) также задаёт новый вектор, который можно интерпретировать как результат утроения ( \mathbf{b} ) и вычитания ( \mathbf{a} ).

Если заданы конкретные координаты ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), вы можете вычислить точные значения координат новых векторов.