Построить график функции у=8х/х^2+4

Для построения графика функции у=8х/(х^2+4) необходимо определить её область определения, асимптоты, точки пересечения с осями координат и поведение функции на разных участках. Кроме того, можно использовать программы для построения графиков, например, GeoGebra.

Для построения графика функции ( y = \frac{8x}{x^2 + 4} ) важно рассмотреть несколько ключевых аспектов, таких как область определения, асимптоты, экстремумы и точки пересечения с осями координат.

1. Область определения

Функция ( y = \frac{8x}{x^2 + 4} ) определена для всех ( x ), поскольку знаменатель ( x^2 + 4 ) никогда не обращается в ноль (для всех действительных чисел ( x ), значение ( x^2 + 4 ) всегда положительно).

2. Асимптоты

Горизонтальные асимптоты

Для определения горизонтальной асимптоты нужно рассмотреть поведение функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ). В обоих случаях: [ \lim{x \to \pm\infty} \frac{8x}{x^2 + 4} = \lim{x \to \pm\infty} \frac{8}{x + \frac{4}{x}} = 0 ] Таким образом, ( y = 0 ) — горизонтальная асимптота.

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель обращается в ноль, но, как уже упоминалось, ( x^2 + 4 \neq 0 ) для всех ( x ). Следовательно, вертикальных асимптот нет.

3. Пересечения с осями

Пересечение с осью ( y )

Для нахождения точки пересечения с осью ( y ) подставим ( x = 0 ): [ y = \frac{8 \cdot 0}{0^2 + 4} = 0 ] Таким образом, функция пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 0) ).

Пересечение с осью ( x )

Чтобы найти точки пересечения с осью ( x ), необходимо решить уравнение ( \frac{8x}{x^2 + 4} = 0 ). Это возможно только при ( x = 0 ), так как числитель равен нулю. Следовательно, точка пересечения с осью ( x ) также ( (0, 0) ).

4. Поведение и экстремумы

Рассмотрим производную, чтобы определить поведение функции и найти экстремумы: [ y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{8x}{x^2 + 4}\right) ] Применяем правило дифференцирования частного: [ y' = \frac{(x^2 + 4) \cdot 8 - 8x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{8x^2 + 32 - 16x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-8x^2 + 32}{(x^2 + 4)^2} ] Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: [ -8x^2 + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 ]

Анализируя знаки производной, мы можем определить, что:

• При ( x < -2 ), ( y' > 0 ) — функция возрастает.
• При ( -2 < x < 2 ), ( y' < 0 ) — функция убывает.
• При ( x > 2 ), ( y' > 0 ) — функция возрастает.

Таким образом, точки ( x = -2 ) и ( x = 2 ) являются точками экстремума. Подставляя эти значения в исходную функцию, находим значения ( y ):

• ( y(-2) = \frac{8 \cdot (-2)}{(-2)^2 + 4} = -\frac{16}{8} = -2 )
• ( y(2) = \frac{8 \cdot 2}{2^2 + 4} = \frac{16}{8} = 2 )

Таким образом, в точке ( x = -2 ) функция имеет локальный минимум, а в точке ( x = 2 ) — локальный максимум.

5. Построение графика

На основании проведённого анализа можно построить график функции, который будет пересекать оси координат в точке ( (0, 0) ), иметь горизонтальную асимптоту ( y = 0 ), а также проходить через локальный минимум в точке ( (-2, -2) ) и локальный максимум в точке ( (2, 2) ).

График будет симметричен относительно начала координат и будет выглядеть как "волна", приближающаяся к оси ( x ) на бесконечности.

Для построения графика функции y = 8x / (x^2 + 4) необходимо следовать нескольким шагам:

1. Найти точки пересечения с осями координат: Для этого приравняем y к нулю: 0 = 8x / (x^2 + 4) 8x = 0 x = 0 Таким образом, точка пересечения с осью x равна x = 0.

2. Найти асимптоты функции: Поскольку степень числителя меньше степени знаменателя, функция имеет наклонную асимптоту. Для нахождения ее уравнения, разделим 8x на x^2 + 4: y = 8x / (x^2 + 4) = 8 / (x + 4/x) Асимптота будет проходить через точку (0, 0) и иметь угловой коэффициент 8.

3. Найти точку экстремума: Для нахождения точки экстремума найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = (8(x^2 + 4) - 8x(2x)) / (x^2 + 4)^2 0 = 8(x^2 + 4) - 16x^2 0 = 8x^2 + 32 - 16x^2 8x^2 = 32 x^2 = 4 x = ±2 Таким образом, точки экстремума функции - это x = 2 и x = -2.

4. Построить график: Используя найденные точки пересечения с осями координат, асимптоту и точки экстремума, построим график функции y = 8x / (x^2 + 4). График будет иметь наклонную асимптоту, проходящую через начало координат, а также точки экстремума в точках x = 2 и x = -2.