После строительства дома осталось некоторое количество плиток . их можно использовать для выкладывания...

Давайте обозначим общее количество плиток после строительства дома за Х. Тогда мы можем составить уравнение: X = 10k + a (1) X = 8m + 1 (2) X = 9n + 6 (3) Где k, m, n - количество полных рядов при укладывании плиток по 10, 8 и 9 соответственно, а a - количество оставшихся плиток.

Из уравнения (2) следует, что X = 8m + 1 = 10k + a, или 8m - 10k = a - 1. Так как a - 1 делится на 2 (по условию), то и a - 1 = 2c, где c - целое число.

Также из уравнения (3) мы можем записать, что 8m + 1 = 9n + 6, или 8m - 9n = 5. Так как 5 делится на 2, то и 5 = 2b, где b - целое число.

Теперь мы можем подставить выражение для a и b в уравнение 8m - 10k = a - 1: 8m - 10k = 2c + 1 - 1, 8m - 10k = 2c, 4m - 5k = c.

Таким образом, мы получили, что разность между количеством полных рядов при укладывании по 10 и 8 плиток равна целому числу. Это возможно, если количество оставшихся плиток после строительства дома равно 21.

Для решения задачи нужно последовательно использовать условия, которые нам даны, и выразить их в виде уравнений.

Шаг 1: Анализ условия

1. Если укладывать плитки в ряд по 10 штук, то для квадратной площадки плиток не хватает.
2. Если укладывать в ряд по 8 плиток, то остаётся один неполный ряд.
3. При укладывании по 9 плиток также остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8.

Шаг 2: Построение уравнений

Пусть общее количество плиток равно ( N ).

1. Для рядов по 8 плиток: [ N = 8k + r_8 ] где ( k ) — количество полных рядов, а ( r_8 ) — количество плиток в неполном ряду. По условию, ( r_8 \neq 0 ).

2. Для рядов по 9 плиток: [ N = 9m + r_9 ] где ( m ) — количество полных рядов, а ( r_9 ) — количество плиток в неполном ряду. По условию, ( r_9 = r_8 - 6 ).

Шаг 3: Сравнение уравнений

Подставим ( r_9 ) в первое уравнение: [ N = 9m + (r_8 - 6) ] [ N = 9m + r_8 - 6 ] Сравним это уравнение с ( N = 8k + r_8 ): [ 8k + r_8 = 9m + r_8 - 6 ] Сократим на ( r_8 ): [ 8k = 9m - 6 ] [ 8k + 6 = 9m ]

Шаг 4: Целочисленное решение

Сначала найдём все значения ( k ) и ( m ), при которых уравнение ( 8k + 6 = 9m ) имеет целочисленное решение.

Для этого выразим ( m ) через ( k ): [ 9m = 8k + 6 ] [ m = \frac{8k + 6}{9} ]

Для ( m ) быть целым числом, числитель ( 8k + 6 ) должен быть делим на 9. Попробуем несколько значений ( k ) и найдём подходящее:

[ 8k + 6 \equiv 0 \pmod{9} ] [ 8k \equiv -6 \pmod{9} ] [ 8k \equiv 3 \pmod{9} ] [ k \equiv 3 \pmod{9} ]

Таким образом, ( k ) может быть 3, 12, 21 и так далее. Мы подставим ( k = 3 ):

[ m = \frac{8 \cdot 3 + 6}{9} = \frac{24 + 6}{9} = \frac{30}{9} = 3.33 \quad \text{(не целое число)} ]

Пробуем ( k = 12 ):

[ m = \frac{8 \cdot 12 + 6}{9} = \frac{96 + 6}{9} = \frac{102}{9} = 11.33 \quad \text{(не целое число)} ]

Теперь пробуем ( k = 21 ):

[ m = \frac{8 \cdot 21 + 6}{9} = \frac{168 + 6}{9} = \frac{174}{9} = 19.33 \quad \text{(не целое число)} ]

Мы видим, что решение будет, если ( k \equiv 3 \pmod{9} ).

Шаг 5: Проверка и вывод

Проверим, какое число плиток соответствует условиям: [ k = 3 + 9n, \, n \in \mathbb{Z} ]

Подставим ( k = 3 ):

[ N = 8 \cdot 3 + r_8 ] [ N = 24 + r_8 ]

Проверим, удовлетворяет ли ( r_8 ) условиям для ( N ):

Если ( r_8 = 6 ): [ N = 24 + 6 = 30 ]

Проверим для плиток по 9 рядов: [ 30 = 9 \cdot 3 + (6 - 6) = 27 + 0 ]

Таким образом, количество плиток ( N = 30 ) соответствует всем условиям задачи.