Помогите срочно пожалуйста Найти промежутки возрастания и убывания функции: f(x)= x3-4x2+5x-1

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1, нужно найти производную этой функции и решить неравенство f'(x) > 0 для промежутков возрастания и f'(x) < 0 для промежутков убывания.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

Теперь решим неравенство f'(x) > 0: 3x^2 - 8x + 5 > 0

Для нахождения промежутков, где производная положительна, можно воспользоваться методом интервалов. Решив неравенство, получим два промежутка возрастания функции.

После этого можно найти промежутки убывания, решив неравенство f'(x) < 0.

Таким образом, найдя корни уравнения f'(x) = 0 и проанализировав изменение знаков производной на промежутках между корнями, можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции ( f(x) ): Первая производная функции ( f(x) ) позволяет определить скорость изменения функции, то есть, где функция возрастает, а где убывает.

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2 + 5x - 1) ]

Используя правила дифференцирования, получаем:

[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 ]

1. Найти критические точки: Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, уравнение первой производной можно решить:

[ 3x^2 - 8x + 5 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6} ]

[ x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{6}{6} = 1 ]

1. Построить знак первой производной на промежутках: Чтобы определить, где функция возрастает и убывает, посмотрим на знаки первой производной на промежутках, созданных критическими точками. У нас есть три промежутка: ( (-\infty, 1) ), ( (1, \frac{5}{3}) ) и ( (\frac{5}{3}, \infty) ).

   Выберем произвольные точки из каждого промежутка и подставим их в первую производную ( f'(x) ):

   • Для промежутка ( (-\infty, 1) ): выберем точку ( x = 0 ) [ f'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 5 = 5 \quad (\text{положительное значение}) ]

   • Для промежутка ( (1, \frac{5}{3}) ): выберем точку ( x = 1.2 ) [ f'(1.2) = 3(1.2)^2 - 8(1.2) + 5 = 3(1.44) - 9.6 + 5 = 4.32 - 9.6 + 5 = -0.28 \quad (\text{отрицательное значение}) ]

   • Для промежутка ( (\frac{5}{3}, \infty) ): выберем точку ( x = 2 ) [ f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 5 = 3(4) - 16 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1 \quad (\text{положительное значение}) ]

2. Определить промежутки возрастания и убывания: Из знаков первой производной можно сделать выводы о поведении функции:

   • На промежутке ( (-\infty, 1) ), ( f'(x) > 0 ), то есть функция возрастает.
   • На промежутке ( (1, \frac{5}{3}) ), ( f'(x) < 0 ), то есть функция убывает.
   • На промежутке ( (\frac{5}{3}, \infty) ), ( f'(x) > 0 ), то есть функция возрастает.

Таким образом, функция ( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1 ) возрастает на промежутках ( (-\infty, 1) ) и ( (\frac{5}{3}, \infty) ), и убывает на промежутке ( (1, \frac{5}{3}) ).