помогите решить уравнения sin(3x-Pi/4)= корень из 3/2
помогите решить уравнения sin(3x-Pi/4)= корень из 3/2
Чтобы решить уравнение sin(3x-π/4) = √3/2, нужно найти все значения x, для которых sin(3x-π/4) равен √3/2.
Конечно, давайте решим уравнение:
[ \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Сначала вспомним, при каких углах синус равен (\frac{\sqrt{3}}{2}). Это происходит при:
[ \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ] где ( k ) — любое целое число.
Теперь подставим (\theta = 3x - \frac{\pi}{4}):
Решим каждое из этих уравнений по отдельности.
[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ]
Добавим (\frac{\pi}{4}) к обеим частям уравнения: [ 3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]
Найдём общий знаменатель для дробей: [ 3x = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi ]
Разделим обе стороны на 3: [ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} ]
[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ]
Добавим (\frac{\pi}{4}) к обеим частям уравнения: [ 3x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]
Найдём общий знаменатель для дробей: [ 3x = \frac{8\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi ]
Разделим обе стороны на 3: [ x = \frac{11\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} ]
Таким образом, общее решение уравнения (\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}) может быть записано в следующем виде:
[ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} ]
где ( k ) — любое целое число.
Для решения уравнения sin(3x-π/4) = √3/2 нужно применить обратную функцию sin к обеим сторонам уравнения. Так как sin(arccos(√3/2)) = √3/2, то получаем: 3x-π/4 = π/3 + 2πk или 3x-π/4 = 2π/3 + 2πk, где k - целое число.
Далее, решаем уравнения относительно x: 1) 3x-π/4 = π/3 + 2πk 3x = π/3 + π/4 + 2πk 3x = 7π/12 + 2πk x = 7π/36 + 2πk/3
2) 3x-π/4 = 2π/3 + 2πk 3x = 2π/3 + π/4 + 2πk 3x = 11π/12 + 2πk x = 11π/36 + 2πk/3
Таким образом, решением уравнения sin(3x-π/4) = √3/2 являются все значения x, которые можно представить в виде x = 7π/36 + 2πk/3 и x = 11π/36 + 2πk/3, где k - целое число.
