По течению реки катер прошел за 4 ч столько же километров,сколько проходит за 6 ч против течения .собственная...

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

1. Время движения катера по течению: ( t_1 = 4 ) часа.
2. Время движения катера против течения: ( t_2 = 6 ) часов.
3. Собственная скорость катера (в неподвижной воде): ( v_{\text{катера}} = 40 ) км/ч.
4. Расстояния, пройденные по течению и против течения, одинаковы.
5. Нужно найти скорость реки (( v_{\text{реки}} )).

Обозначения:

• Скорость катера по течению: ( v{\text{по течению}} = v{\text{катера}} + v_{\text{реки}} ).
• Скорость катера против течения: ( v{\text{против течения}} = v{\text{катера}} - v_{\text{реки}} ).

Решение:

1. Расстояние, пройденное катером:

   • Расстояние, пройденное по течению: ( S = v_{\text{по течению}} \cdot t_1 ).
   • Расстояние, пройденное против течения: ( S = v_{\text{против течения}} \cdot t_2 ).

   Так как расстояния одинаковы (( S_1 = S2 )), можем записать уравнение: [ v{\text{по течению}} \cdot t1 = v{\text{против течения}} \cdot t_2. ]

2. Подставим выражения для скоростей: [ (v{\text{катера}} + v{\text{реки}}) \cdot t1 = (v{\text{катера}} - v_{\text{реки}}) \cdot t_2. ]

   Подставим данные задачи (( v_{\text{катера}} = 40 ), ( t_1 = 4 ), ( t2 = 6 )): [ (40 + v{\text{реки}}) \cdot 4 = (40 - v_{\text{реки}}) \cdot 6. ]

3. Раскроем скобки: [ 160 + 4v{\text{реки}} = 240 - 6v{\text{реки}}. ]

4. Переносим все, что связано с ( v_{\text{реки}} ), в одну сторону: [ 4v{\text{реки}} + 6v{\text{реки}} = 240 - 160. ]

   [ 10v_{\text{реки}} = 80. ]

5. Находим ( v_{\text{реки}} ): [ v_{\text{реки}} = \frac{80}{10} = 8 \, \text{км/ч}. ]

Ответ:

Скорость реки равна 8 км/ч.

Проверка:

1. Скорость катера по течению: ( v_{\text{по течению}} = 40 + 8 = 48 \, \text{км/ч} ).
2. Скорость катера против течения: ( v_{\text{против течения}} = 40 - 8 = 32 \, \text{км/ч} ).

• Расстояние по течению за 4 часа: ( S = 48 \cdot 4 = 192 \, \text{км} ).
• Расстояние против течения за 6 часов: ( S = 32 \cdot 6 = 192 \, \text{км} ).

Расстояния совпадают, значит, решение верное!

Давайте обозначим:

• ( v_k ) — собственная скорость катера (40 км/ч),
• ( v_r ) — скорость реки (км/ч),
• ( t_1 ) — время в пути по течению (4 ч),
• ( t_2 ) — время в пути против течения (6 ч).

Согласно условию задачи, расстояние, которое катер преодолевает по течению, равно расстоянию, которое он проходит против течения. Расстояние рассчитывается по формуле:

[ S = v \cdot t ]

Где ( S ) — расстояние, ( v ) — скорость, а ( t ) — время.

1. Расстояние по течению: По течению скорость катера равна ( v_k + v_r ) (собственная скорость плюс скорость реки). Тогда расстояние, пройденное по течению, можно выразить как:

[ S_1 = (v_k + v_r) \cdot t_1 = (40 + v_r) \cdot 4 ]

1. Расстояние против течения: Против течения скорость катера равна ( v_k - v_r ) (собственная скорость минус скорость реки). Расстояние, пройденное против течения:

[ S_2 = (v_k - v_r) \cdot t_2 = (40 - v_r) \cdot 6 ]

1. Уравнение для расстояний: Согласно условию задачи, расстояния равны:

[ (40 + v_r) \cdot 4 = (40 - v_r) \cdot 6 ]

1. Решение уравнения: Раскроем скобки:

[ 160 + 4v_r = 240 - 6v_r ]

Теперь соберем все ( v_r ) в одну сторону, а константы — в другую:

[ 4v_r + 6v_r = 240 - 160 ]

[ 10v_r = 80 ]

Теперь найдем скорость реки:

[ v_r = \frac{80}{10} = 8 \text{ км/ч} ]

Таким образом, скорость реки составляет 8 км/ч.

Обозначим скорость реки как ( v ) км/ч.

Скорость катера по течению: ( 40 + v ) км/ч.
Скорость катера против течения: ( 40 - v ) км/ч.

По условию задачи, катер за 4 часа по течению проплывает столько же, сколько за 6 часов против течения:

[ 4(40 + v) = 6(40 - v) ]

Решим это уравнение:

[ 160 + 4v = 240 - 6v ]

Соберем все ( v ) на одной стороне:

[ 4v + 6v = 240 - 160 ]

[ 10v = 80 ]

[ v = 8 ]

Таким образом, скорость реки составляет 8 км/ч.