Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби а) (15)/(2√6) б) (19)/(2√5 - 1)

а) Для освобождения от знака корня в знаменателе дроби (15)/(2√6) можно умножить числитель и знаменатель на √6: (15)/(2√6) (√6)/(√6) = (15√6)/(26) = (15√6)/(12) = (5√6)/(4)

б) Для освобождения от знака корня в знаменателе дроби (19)/(2√5 - 1) можно умножить числитель и знаменатель на (2√5 + 1): (19)/(2√5 - 1) (2√5 + 1)/(2√5 + 1) = (19(2√5 + 1))/(45 - 1) = (38√5 + 19)/((4*5) - 1) = (38√5 + 19)/(20 - 1) = (38√5 + 19)/(19)

Чтобы освободиться от знака корня в знаменателе дроби, необходимо выполнить процедуру, называемую "рационализация знаменателя". Рассмотрим оба случая:

а) (\frac{15}{2\sqrt{6}})

Чтобы рационализировать знаменатель, умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{6}):

[ \frac{15}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{15\sqrt{6}}{12} ]

Теперь сократим дробь. 15 и 12 имеют общий делитель 3:

[ \frac{15\sqrt{6}}{12} = \frac{15 \div 3 \cdot \sqrt{6}}{12 \div 3} = \frac{5\sqrt{6}}{4} ]

Итак, результат рационализации:

[ \frac{15}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{4} ]

б) (\frac{19}{2\sqrt{5} - 1})

Чтобы рационализировать знаменатель в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2\sqrt{5} + 1). Сопряженное выражение (2\sqrt{5} + 1) используется для уничтожения корня в знаменателе. Умножим дробь на (\frac{2\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{5} + 1}):

[ \frac{19}{2\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{2\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{5} + 1} = \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{(2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1)} ]

Рассмотрим знаменатель, используя формулу разности квадратов (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)):

[ (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19 ]

Теперь у нас:

[ \frac{19(2\sqrt{5} + 1)}{19} ]

Сократим (19) в числителе и знаменателе:

[ 2\sqrt{5} + 1 ]

Итак, результат рационализации:

[ \frac{19}{2\sqrt{5} - 1} = 2\sqrt{5} + 1 ]

Таким образом, после рационализации знаменателя, мы получили следующие результаты:

а) (\frac{15}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{4})

б) (\frac{19}{2\sqrt{5} - 1} = 2\sqrt{5} + 1)