Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат с диагональю 4 см. найти боковое ребро параллелепипеда,...

Чтобы решить задачу, внимательно разберем условия и выполним необходимые вычисления.

Дано:

1. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат с диагональю 4 см.
2. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 8 см².
3. Нужно найти длину бокового ребра параллелепипеда.

Решение:

1. Найдем сторону квадрата-основания.

Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны, и его диагональ делится на два равных отрезка. Диагональ квадрата (d) и сторона квадрата (a) связаны формулой: [ d = a \sqrt{2}. ] Подставим (d = 4) и выразим (a): [ 4 = a \sqrt{2}, ] [ a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см}. ] Итак, сторона квадрата-основания равна (a = 2\sqrt{2} \, \text{см}).

2. Обозначим боковое ребро параллелепипеда за (h) (высота).

Параллелепипед имеет две пары противоположных боковых граней, каждая из которых имеет площадь, равную произведению основания на высоту. Так как основание — квадрат, то площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: [ S_\text{бок} = 4a h, ] где (4a) — периметр основания, а (h) — высота (боковое ребро).

По условию задачи, площадь боковой поверхности равна 8 см²: [ 4a h = 8. ]

3. Подставим значение (a = 2\sqrt{2}) в уравнение.

[ 4 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot h = 8. ] Упростим: [ 8\sqrt{2} \cdot h = 8. ] Разделим обе части уравнения на (8\sqrt{2}): [ h = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. ] Упростим дробь: [ h = \frac{\sqrt{2}}{2} \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина бокового ребра (высота параллелепипеда) равна: [ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} \, \text{см}}. ]

Для решения задачи начнем с определения сторон квадрата, который является основанием прямоугольного параллелепипеда. Известно, что диагональ квадрата (d) равна 4 см. Мы можем использовать формулу для диагонали квадрата:

[ d = a\sqrt{2} ]

где (a) — длина стороны квадрата. Подставим известное значение диагонали:

[ 4 = a\sqrt{2} ]

Чтобы найти (a), разделим обе стороны уравнения на (\sqrt{2}):

[ a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

Теперь, зная сторону квадрата, можем найти площадь основания параллелепипеда:

[ S_{основания} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \text{ см}^2 ]

Теперь перейдем к боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности (S) параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону, равную высоте параллелепипеда (h), и другую сторону, равную стороне квадрата (a):

[ S_{боковой} = 4ah ]

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности равна 8 см². Подставим известные значения:

[ 4ah = 8 ]

Разделим обе стороны уравнения на 4:

[ ah = 2 ]

Теперь подставим значение (a):

[ (2\sqrt{2})h = 2 ]

Чтобы найти (h), разделим обе стороны на (2\sqrt{2}):

[ h = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см} ]

Таким образом, боковое ребро параллелепипеда, равное высоте, составляет (\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}).