Определите интервалы монотонности функции f(x) = x⁴ - 2x². С полным решением, формулами и т.д! C решением...

Для определения интервалов монотонности функции ( f(x) = x^4 - 2x^2 ), необходимо найти производную функции и исследовать её знаки.

1. Найдем производную функции ( f(x) ):

   Функция задана как ( f(x) = x^4 - 2x^2 ).

   Производная функции ( f'(x) ) находится по правилу дифференцирования степенной функции:

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x^3 - 4x ]

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):

   [ 4x^3 - 4x = 0 ]

   Вынесем общий множитель за скобки:

   [ 4x(x^2 - 1) = 0 ]

   Разделим на 4:

   [ x(x^2 - 1) = 0 ]

   Решим уравнение:

   [ x(x - 1)(x + 1) = 0 ]

   Таким образом, критические точки: ( x = 0 ), ( x = 1 ), ( x = -1 ).

3. Исследуем знаки производной на интервалах:

   Разобьем числовую прямую на интервалы, используя критические точки: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 0) ), ( (0, 1) ), ( (1, \infty) ).

   • На интервале ( (-\infty, -1) ):

     Возьмем тестовую точку, например ( x = -2 ):

     [ f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 ]

     Знак отрицательный, значит, функция убывает на этом интервале.

   • На интервале ( (-1, 0) ):

     Возьмем тестовую точку, например ( x = -0.5 ):

     [ f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 ]

     Знак положительный, значит, функция возрастает на этом интервале.

   • На интервале ( (0, 1) ):

     Возьмем тестовую точку, например ( x = 0.5 ):

     [ f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 ]

     Знак отрицательный, значит, функция убывает на этом интервале.

   • На интервале ( (1, \infty) ):

     Возьмем тестовую точку, например ( x = 2 ):

     [ f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 ]

     Знак положительный, значит, функция возрастает на этом интервале.

4. Вывод:

   Функция ( f(x) = x^4 - 2x^2 ) убывает на интервалах ( (-\infty, -1) ) и ( (0, 1) ), и возрастает на интервалах ( (-1, 0) ) и ( (1, \infty) ).

Для определения интервалов монотонности функции f(x) = x⁴ - 2x² необходимо найти производную функции и решить неравенство f'(x) > 0 или f'(x) < 0.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = 4x³ - 4x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 4x³ - 4x = 0 4x(x² - 1) = 0 Таким образом, x = 0, x = 1, x = -1

Теперь составим таблицу знаков производной: x < -1: f'(x) < 0 -1 < x < 0: f'(x) > 0 0 < x < 1: f'(x) < 0 x > 1: f'(x) > 0

Таким образом, функция f(x) = x⁴ - 2x² возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и убывает на интервалах (-1, 0) и (0, 1).