Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы...

Для нахождения размеров окна, которое пропускает наибольшее количество света, нужно использовать метод дифференциального исчисления. Пусть длина окна равна x м, а ширина y м. Тогда периметр прямоугольника равен 2x + 2y = 8 м. Разделим обе стороны на 2, получаем x + y = 4.

Площадь окна вычисляется как произведение длины и ширины, то есть S = xy. Из уравнения x + y = 4 можно выразить одну переменную через другую: y = 4 - x.

Теперь подставим это выражение в формулу для площади: S = x(4 - x) = 4x - x^2.

Для нахождения максимальной площади окна нужно найти производную функции S по переменной x и приравнять её к нулю: dS/dx = 4 - 2x = 0. Отсюда находим, что x = 2 м.

Таким образом, размеры окна должны быть 2 м на 2 м (по 2 м длиной и шириной), чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

Для максимального количества света размеры окна должны быть 2 м х 2 м.

Для того чтобы окно пропускало наибольшее количество света при заданном периметре, необходимо максимизировать его площадь. Пусть длина окна равна ( x ), а ширина — ( y ). Тогда периметр окна можно выразить как:

[ 2x + 2y = 8. ]

Упростим это выражение, разделив обе стороны на 2:

[ x + y = 4. ]

Теперь выразим ( y ) через ( x ):

[ y = 4 - x. ]

Площадь прямоугольника, которую необходимо максимизировать, равна:

[ A = x \cdot y = x \cdot (4 - x) = 4x - x^2. ]

Теперь найдем производную этой функции площади по ( x ) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

[ \frac{dA}{dx} = 4 - 2x. ]

Приравняем производную к нулю:

[ 4 - 2x = 0. ]

Решив это уравнение, находим ( x ):

[ 2x = 4 ]

[ x = 2. ]

Подставим найденное значение ( x ) в выражение для ( y ):

[ y = 4 - x = 4 - 2 = 2. ]

Таким образом, размеры окна, которые максимизируют площадь, равны ( x = 2 ) м и ( y = 2 ) м. Это означает, что окно должно иметь форму квадрата со сторонами по 2 метра, чтобы пропускать наибольшее количество света.

Дополнительно проверим, что это действительно максимум, рассмотрев вторую производную:

[ \frac{d^2A}{dx^2} = -2. ]

Поскольку вторая производная отрицательна (( -2 < 0 )), это указывает на то, что точка ( x = 2 ) действительно является точкой максимума для функции площади. Таким образом, квадратное окно пропускает наибольшее количество света при заданном периметре.