Нильс летел в стае на спине гуся Мартина. Он обратил внимание,что построение стаи напоминает треугольник:впереди вожак,затем 2 гуся,в 3 ряду 3 гуся и т.д.Стая остановилась на ночлег на льдине. Нильс увидел,что расположение гусей на этот раз, напоминает квадрат,состоящий из рядов,в каждом ряду одинаковое количество гусей,причём число число гусей в ряду равно числу рядов.Гусей в стае меньше 50.Сколько гусей в стае?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Треугольное построение в воздухе: В стае гусей в воздухе они летят в форме треугольника. Это значит, что на каждом новом уровне количество гусей увеличивается на один. Это соответствует треугольным числам, которые вычисляются по формуле:
[ T_n = \frac{n(n + 1)}{2} ]
где ( T_n ) — треугольное число, а ( n ) — номер уровня.
Квадратное построение на земле: Когда стая останавливается на ночлег, гуси располагаются в форме квадрата, где количество гусей в каждом ряду равно количеству рядов. Это значит, что количество гусей в стае должно быть полным квадратом:
[ S_m = m^2 ]
где ( S_m ) — это количество гусей, а ( m ) — количество рядов.
Ограничение по количеству гусей: Согласно условию задачи, общее число гусей в стае меньше 50.
Теперь, чтобы решить задачу, нужно найти число, которое одновременно является и треугольным числом, и полным квадратом, и меньше 50.
Посмотрим на треугольные числа меньше 50:
Теперь посмотрим на полные квадраты меньше 50:
Единственное число, которое является и треугольным числом, и полным квадратом, и меньше 50 — это 36.
Таким образом, в стае 36 гусей.
Пусть в стае было n рядов гусей. Тогда по условию задачи каждый ряд содержит n гусей, что в сумме дает общее количество гусей в стае равное n^2.
Также из условия известно, что в стае меньше 50 гусей, поэтому n^2 < 50. Перебором узнаем, что наибольшее целое число n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 7 (7^2 = 49).
Итак, в стае было 7 рядов по 7 гусей в каждом, то есть общее количество гусей в стае равно 7 * 7 = 49.
