Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y=1/5x^2 и прямая y=8/5x+4/5. Если точки...

Для определения пересечения параболы и прямой необходимо найти их общие точки. Для этого подставим уравнение прямой y=8/5x+4/5 в уравнение параболы y=1/5x^2 и приравняем их:

1/5x^2 = 8/5x + 4/5

Упростим уравнение:

x^2 - 8x - 4 = 0

Далее найдем дискриминант и решим квадратное уравнение:

D = (-8)^2 - 41(-4) = 64 + 16 = 80

x1 = (8 + √80)/2 = (8 + 4√5)/2 = 4 + 2√5 x2 = (8 - √80)/2 = (8 - 4√5)/2 = 4 - 2√5

Теперь найдем y-координаты, подставив найденные x в уравнение прямой:

y1 = 8/5 (4 + 2√5) + 4/5 = 32/5 + 16√5/5 + 4/5 = 36/5 + 16√5/5 y2 = 8/5 (4 - 2√5) + 4/5 = 32/5 - 16√5/5 + 4/5 = 36/5 - 16√5/5

Таким образом, точки пересечения параболы y=1/5x^2 и прямой y=8/5x+4/5 имеют координаты (4 + 2√5, 36/5 + 16√5/5) и (4 - 2√5, 36/5 - 16√5/5).

Чтобы определить, пересекаются ли парабола ( y = \frac{1}{5}x^2 ) и прямая ( y = \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} ), нужно решить систему уравнений, полученную из уравнений этих кривых:

1. ( y = \frac{1}{5}x^2 )
2. ( y = \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} )

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти точки пересечения:

[ \frac{1}{5}x^2 = \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} ]

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

[ x^2 = 8x + 4 ]

Переносим все члены в одну часть уравнения:

[ x^2 - 8x - 4 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = -4 ).

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80 ]

Поскольку дискриминант положительный (( D > 0 )), уравнение имеет два различных действительных корня, что означает, что парабола и прямая действительно пересекаются в двух точках.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем наши значения:

[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2} ]

Упростим (\sqrt{80}):

[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} ]

Таким образом, корни будут:

[ x_1 = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{2} = 4 + 2\sqrt{5} ]

[ x_2 = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{2} = 4 - 2\sqrt{5} ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого значения ( x ), подставляя их в одно из исходных уравнений, например, в уравнение прямой:

Для ( x_1 = 4 + 2\sqrt{5} ):

[ y_1 = \frac{8}{5}(4 + 2\sqrt{5}) + \frac{4}{5} ]

[ y_1 = \frac{32}{5} + \frac{16\sqrt{5}}{5} + \frac{4}{5} = \frac{36}{5} + \frac{16\sqrt{5}}{5} ]

Для ( x_2 = 4 - 2\sqrt{5} ):

[ y_2 = \frac{8}{5}(4 - 2\sqrt{5}) + \frac{4}{5} ]

[ y_2 = \frac{32}{5} - \frac{16\sqrt{5}}{5} + \frac{4}{5} = \frac{36}{5} - \frac{16\sqrt{5}}{5} ]

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках:

[ \left(4 + 2\sqrt{5}, \frac{36}{5} + \frac{16\sqrt{5}}{5}\right) \quad \text{и} \quad \left(4 - 2\sqrt{5}, \frac{36}{5} - \frac{16\sqrt{5}}{5}\right) ]