Натуральное число имеет ровно 6 различных натуральных делителей включая таким И Н произведение пяти...

Для того чтобы найти шестой делитель натурального числа, имеющего ровно 6 различных делителей, включая себя и единицу, мы должны разложить число 648 на простые множители.

Число 648 можно разложить следующим образом: 648 = 2^4 * 3^4.

Теперь мы знаем, что число имеет 6 различных делителей. Раскроем это на множители: (4+1)(4+1) = 55 = 25.

Итак, у числа 648 есть 25 делителей. Пять из них уже известны: 1, 2, 3, 4, 6. Чтобы найти шестой делитель, нам нужно найти все возможные комбинации множителей, учитывая условие, что у числа 6 делителей.

Давайте перечислим все делители числа 648: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81, 108, 162, 216, 324, 648.

Таким образом, шестым делителем числа 648 является число 8.

Для решения задачи, давайте рассмотрим натуральные числа, имеющие ровно 6 различных делителей. Если натуральное число ( n ) имеет ровно 6 делителей, то возможны два случая для его разложения на простые множители:

1. ( n = p^5 ), где ( p ) — простое число. В этом случае делители числа ( n ) будут: ( 1, p, p^2, p^3, p^4, p^5 ).
2. ( n = p^2 \cdot q ), где ( p ) и ( q ) — простые числа. В этом случае делители числа ( n ) будут: ( 1, p, p^2, q, pq, p^2q ).

Нам нужно найти число ( n ), у которого произведение пяти из шести делителей равно 648.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: ( n = p^5 )

1. Все делители числа ( p^5 ) (то есть ( 1, p, p^2, p^3, p^4, p^5 )) включают ( p ) и его степени.
2. Произведение всех шести делителей (кроме одного) должно быть ( 648 ).

Проверим, подходит ли число 648 к произведению пяти делителей из ( p^5 ):

• Если ( p = 2 ), то ( n = 2^5 = 32 ), делители: ( 1, 2, 4, 8, 16, 32 ). Произведение всех делителей: ( 1 \times 2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32 = 2^{1+2+3+4+5} = 2^{15} = 32768 ). Очевидно, 32768 ≠ 648, поэтому этот вариант не подходит.

Случай 2: ( n = p^2 \cdot q )

1. Рассмотрим делители числа: ( 1, p, p^2, q, pq, p^2q ).
2. Произведение всех шести делителей (кроме одного) должно быть ( 648 ).

Проверим, подходит ли число 648 к произведению пяти делителей из ( p^2 \cdot q ):

• Если ( p = 2 ) и ( q = 3 ), то ( n = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 ), делители: ( 1, 2, 4, 3, 6, 12 ).
  • Произведение всех делителей: ( 1 \times 2 \times 4 \times 3 \times 6 \times 12 = 1728 ).
  • Произведение пяти делителей (например, ( 1 \times 2 \times 4 \times 3 \times 6 )) = ( 1 \times 2 \times 4 \times 3 \times 6 = 144 ). Очевидно, 144 ≠ 648, поэтому этот вариант не подходит.

Теперь попробуем другие комбинации простых чисел ( p ) и ( q ):

• Если ( p = 3 ) и ( q = 2 ), то ( n = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18 ), делители: ( 1, 3, 9, 2, 6, 18 ).
  • Произведение всех делителей: ( 1 \times 3 \times 9 \times 2 \times 6 \times 18 = 5832 ).
  • Произведение пяти делителей (например, ( 1 \times 3 \times 9 \times 2 \times 6 )) = ( 1 \times 3 \times 9 \times 2 \times 6 = 324 ). Очевидно, 324 ≠ 648, поэтому этот вариант не подходит.

Попробуем ( p = 3 ) и ( q = 2 ):

• Если ( p = 3 ) и ( q = 2 ), то произведение пяти делителей из 1, 3, 9, 2, 6, 18 должно быть равно 648. Произведение всех делителей ( 1 \times 2 \times 3 \times 6 \times 9 \times 18 = 5832 ) ( 648 \times 9 = 5832 )

Таким образом, шестым делителем будет 18.