Написать уравнение касательной к графику функции f(x) =3/x в точке с абциссой х0 = -1; х0=1

Уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке с абсциссой x0 = -1: y = -3x - 3 Уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке с абсциссой x0 = 1: y = 3x - 3

Функция f(x) = 3/x имеет областью определения все числа, кроме x=0. Для того чтобы найти уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 = -1, а также в точке x0 = 1, необходимо найти производную функции и вычислить ее значение в указанных точках.

1. Найдем производную функции f(x) = 3/x с помощью правила дифференцирования степенной функции: f'(x) = -3/x^2.

2. Для точки x0 = -1: f'(-1) = -3/(-1)^2 = -3.

Теперь у нас есть коэффициент наклона касательной в точке x0 = -1. Чтобы найти уравнение касательной, нужно найти уравнение прямой вида y = kx + b, где k - коэффициент наклона, а b - значение функции в данной точке.

Подставим координаты точки x0 = -1 в уравнение: y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1)), y - 3 = -3(x + 1), y - 3 = -3x - 3, y = -3x.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке с абсциссой x0 = -1 имеет вид y = -3x.

1. Для точки x0 = 1: f'(1) = -3/1^2 = -3.

Повторим аналогичные шаги для точки x0 = 1: y - f(1) = f'(1)(x - 1), y - 3 = -3(x - 1), y - 3 = -3x + 3, y = -3x + 6.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке с абсциссой x0 = 1 имеет вид y = -3x + 6.

Чтобы написать уравнение касательной к графику функции ( f(x) = \frac{3}{x} ) в заданной точке, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в заданной точке.

   Для точки с абсциссой ( x_0 = -1 ): [ f(-1) = \frac{3}{-1} = -3 ]

   Для точки с абсциссой ( x_0 = 1 ): [ f(1) = \frac{3}{1} = 3 ]

2. Найти производную функции.

   Функция ( f(x) = \frac{3}{x} ) может быть записана как ( f(x) = 3x^{-1} ). Для нахождения производной используем правило производной степенной функции: [ f'(x) = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2} ]

3. Найти значение производной в заданной точке.

   Для точки ( x_0 = -1 ): [ f'(-1) = -\frac{3}{(-1)^2} = -3 ]

   Для точки ( x_0 = 1 ): [ f'(1) = -\frac{3}{1^2} = -3 ]

4. Составить уравнение касательной.

   Уравнение касательной в точке ( (x_0, f(x_0)) ) имеет вид: [ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) ]

   Для точки ( x_0 = -1 ): [ y = -3(x + 1) - 3 ] [ y = -3x - 3 - 3 ] [ y = -3x - 6 ]

   Для точки ( x_0 = 1 ): [ y = -3(x - 1) + 3 ] [ y = -3x + 3 + 3 ] [ y = -3x + 6 ]

Таким образом, уравнения касательных к графику функции ( f(x) = \frac{3}{x} ) в точках ( x_0 = -1 ) и ( x_0 = 1 ) соответственно равны:

• Для ( x_0 = -1 ): ( y = -3x - 6 )
• Для ( x_0 = 1 ): ( y = -3x + 6 )