Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет...

Для того чтобы написать каноническое уравнение эллипса, необходимо знать основные параметры эллипса: полуоси и фокусы. В данном случае нам известны расстояние между фокусами (2c) и эксцентриситет (\varepsilon).

1. Расстояние между фокусами равно (2c), поэтому (c = \frac{6}{2} = 3).

2. Эксцентриситет ((\varepsilon)) эллипса определяется как отношение расстояния от центра эллипса до фокуса ((c)) к длине его полуоси (a): [ \varepsilon = \frac{c}{a} ] В данном случае, (\varepsilon = \frac{3}{5}). Подставив значение (c), получаем: [ \frac{3}{5} = \frac{3}{a} ] Умножая обе части уравнения на (a), получаем: [ a = 5 ]

3. Для нахождения второй полуоси (b) используем основное свойство эллипса: [ c^2 = a^2 - b^2 ] Нам известно, что (c = 3) и (a = 5). Подставляем эти значения в уравнение: [ 3^2 = 5^2 - b^2 ] [ 9 = 25 - b^2 ] Переносим (b^2) на одну сторону и 9 на другую: [ b^2 = 25 - 9 ] [ b^2 = 16 ] [ b = 4 ]

4. Теперь у нас есть все необходимые параметры: (a = 5), (b = 4), и можем записать каноническое уравнение эллипса. В общем виде каноническое уравнение эллипса с полуосями (a) и (b) имеет вид: [ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ]

5. Подставляем наши значения (a) и (b): [ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 ] [ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 ]

Таким образом, каноническое уравнение заданного эллипса будет: [ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 ]

Для определения канонического уравнения эллипса необходимо знать его фокусы и эксцентриситет. Эксцентриситет эллипса определяется как отношение расстояния между фокусами (2c) к длине большой полуоси (2a), то есть ε = c/a. Исходя из того, что c = 6 и ε = 3/5, можем найти a: c = 6 ε = 3/5 ε = c/a 3/5 = 6/a a = 6 * 5 / 3 = 10

Также мы знаем, что эксцентриситет связан с малой полуосью эллипса b следующим образом: ε = √(1 - b^2 / a^2). Так как ε = 3/5 и a = 10, можем найти b: ε = 3/5 a = 10 3/5 = √(1 - b^2 / 10^2) 9/25 = 1 - b^2 / 100 b^2 / 100 = 1 - 9/25 b^2 / 100 = 16/25 b^2 = 64 b = 8

Теперь, имея значения полуосей a и b, можем записать каноническое уравнение эллипса: (x^2 / 10^2) + (y^2 / 8^2) = 1

Ответ: каноническое уравнение эллипса с большой полуосью a = 10, малой полуосью b = 8 и фокусами на расстоянии 6 - (x^2 / 100) - (y^2 / 64) = 1.