Найти все решения уравнения cos4x=√2/2 на отрезке [0;pi]

Дано уравнение cos(4x) = √2/2. Для начала найдем все значения угла, для которых косинус равен √2/2. Это происходит в точках, где угол находится в первом и четвертом квадрантах и косинус равен 1/√2. Таким образом, мы имеем два значения угла: π/4 и 7π/4.

Теперь рассмотрим уравнение cos(4x) = cos(π/4) = cos(7π/4). Используя формулу косинуса разности, получаем: 4x = 2kπ ± π/4, где k - целое число. Из данного уравнения мы можем найти все возможные значения x на отрезке [0;π]:

1. 4x = 2kπ + π/4 x = (2kπ + π/4)/4
2. 4x = 2kπ - π/4 x = (2kπ - π/4)/4

Таким образом, все решения уравнения cos(4x) = √2/2 на отрезке [0;π] будут иметь вид: x = (2kπ + π/4)/4, x = (2kπ - π/4)/4, где k - целое число.

Чтобы найти все решения уравнения (\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}) на отрезке ([0; \pi]), следуем следующим шагам:

1. Определим основные значения косинуса:

   Известно, что (\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует углам (\theta = \frac{\pi}{4}) и (\theta = \frac{7\pi}{4}) в пределах одного полного круга (0) до (2\pi). Однако, поскольку косинус - это четная функция и периодическая с периодом (2\pi), мы можем выражать общее решение как: [ \theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) - целое число.

2. Заменим (\theta) на (4x):

   У нас получится два уравнения: [ 4x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ 4x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ]

3. Решим уравнения для (x):

   Для первого уравнения: [ x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2} ]

   Для второго уравнения: [ x = \frac{7\pi}{16} + \frac{k\pi}{2} ]

4. Найдем все решения на отрезке ([0; \pi]):

   Поскольку нам нужно найти решения на отрезке ([0; \pi]), проверим значения (k) для обоих случаев.

   Для (x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}):

   • При (k = 0), (x = \frac{\pi}{16})
   • При (k = 1), (x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{16})
   • При (k = 2), (x = \frac{\pi}{16} + \pi = \frac{17\pi}{16} > \pi), не подходит.

   Для (x = \frac{7\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}):

   • При (k = 0), (x = \frac{7\pi}{16})
   • При (k = 1), (x = \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{16})
   • При (k = 2), (x = \frac{7\pi}{16} + \pi = \frac{23\pi}{16} > \pi), не подходит.

Таким образом, решения уравнения (\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}) на отрезке ([0; \pi]) следующие: [ x = \frac{\pi}{16}, \quad x = \frac{9\pi}{16}, \quad x = \frac{7\pi}{16}, \quad x = \frac{15\pi}{16} ]