Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+6x-5 y=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = -x^2 + 6x - 5 ) и прямой ( y = 0 ), сначала необходимо определить точки пересечения этих линий, так как они будут служить пределами интегрирования.

1. Найдем точки пересечения.

   Уравняем функции: [ -x^2 + 6x - 5 = 0 ]

   Это квадратное уравнение, решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = -1 ), ( b = 6 ), ( c = -5 ).

   Подставим значения: [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5)}}{2 \cdot (-1)} ] [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2} ] [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2} ] [ x = \frac{-6 \pm 4}{-2} ]

   Находим два корня: [ x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = 1 ] [ x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = 5 ]

   Таким образом, точки пересечения — это ( x = 1 ) и ( x = 5 ).

2. Вычислим площадь под кривой от ( x = 1 ) до ( x = 5 ).

   Площадь под кривой ( y = -x^2 + 6x - 5 ) от ( x = 1 ) до ( x = 5 ) можно найти с помощью определенного интеграла:

   [ A = \int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) \, dx ]

   Вычислим этот интеграл: [ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - 5x \right]{1}^{5} ] [ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]{1}^{5} ]

   Теперь подставим пределы интегрирования: [ A = \left( -\frac{5^3}{3} + 3 \times 5^2 - 5 \times 5 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 3 \times 1^2 - 5 \times 1 \right) ]

   Вычислим каждое значение: [ A = \left( -\frac{125}{3} + 75 - 25 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 - 5 \right) ] [ A = \left( -\frac{125}{3} + 50 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 2 \right) ]

   Приведем к общему знаменателю: [ A = \left( -\frac{125}{3} + \frac{150}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{6}{3} \right) ] [ A = \left( \frac{25}{3} \right) - \left( -\frac{7}{3} \right) ] [ A = \frac{25}{3} + \frac{7}{3} ] [ A = \frac{32}{3} ]

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна (\frac{32}{3}) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=-x^2+6x-5 и y=0, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения функций y=-x^2+6x-5 и y=0. Для этого нужно решить уравнение -x^2+6x-5=0. Получим x^2-6x+5=0. Решив это квадратное уравнение, найдем два корня: x=1 и x=5.

Теперь можно найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя графиками. Для этого рассчитаем определенный интеграл от -x^2+6x-5 до 0 по переменной x на интервале [1,5].

∫[1,5] (-x^2+6x-5)dx = [-x^3/3 + 3x^2 - 5x] [1,5] = [-(5^3)/3 + 3(5^2) - 55] - [-(1^3)/3 + 3(1^2) - 51]

= [-125/3 + 75 - 25] - [-1/3 + 3 - 5] = [-125/3 + 50] - [-1/3 - 2] = -75/3 + 50 + 1/3 + 2 = -25 + 50 + 1/3 + 2 = 27 1/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x-5 и y=0, равна 27 1/3 квадратных единиц.