Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0; x=2
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0; x=2
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0 и x=2, необходимо вычислить определенный интеграл функции y=x^4 на отрезке [0, 2] и затем вычесть площадь под прямой y=0 на этом отрезке.
Итак, первым шагом является вычисление определенного интеграла функции y=x^4 на отрезке [0, 2]:
∫[0,2] x^4 dx = [1/5 * x^5] [0,2] = 1/5 2^5 - 1/5 0^5 = 32/5
Затем вычисляем площадь под прямой y=0 на отрезке [0, 2], что равно просто длине отрезка:
Площадь = 2
Итак, общая площадь фигуры равна разности между площадью под графиком функции и площадью под прямой:
Площадь фигуры = 32/5 - 2 = 22/5
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0 и x=2, равна 22/5.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^4 ), прямой ( y = 0 ) (ось абсцисс), и вертикальной прямой ( x = 2 ), нужно вычислить определенный интеграл от функции ( y = x^4 ) на отрезке от 0 до 2.
Процедура нахождения площади выглядит следующим образом:
Определение границ интегрирования:
Запись интеграла: Площадь ( S ) можно выразить интегралом: [ S = \int_{0}^{2} x^4 \, dx ]
Вычисление интеграла: Найдем первообразную для функции ( x^4 ). Первообразная ( x^4 ) — это ( \frac{x^5}{5} ). То есть: [ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C ] где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования. Но для определенного интеграла её учитывать не нужно.
Подставляем пределы интегрирования: Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: [ S = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} ]
Вычисление значений первообразной на границах: Сначала подставим верхний предел: [ \left. \frac{x^5}{5} \right|{x=2} = \frac{2^5}{5} = \frac{32}{5} ] Затем подставим нижний предел: [ \left. \frac{x^5}{5} \right|{x=0} = \frac{0^5}{5} = 0 ]
Разность значений первообразной: Теперь вычтем значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе: [ S = \frac{32}{5} - 0 = \frac{32}{5} ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^4 ), прямой ( y = 0 ) и прямой ( x = 2 ), равна ( \frac{32}{5} ) квадратных единиц.
