Найти НОД и НОК чисел: а)18,20 и 15; б)12,16 и 20; в)25,15 и 10

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких чисел можно использовать разложение этих чисел на простые множители. Давайте разберем каждый из случаев:

а) Числа 18, 20 и 15

1. Разложение на простые множители:

   • 18 = 2 × 3²
   • 20 = 2² × 5
   • 15 = 3 × 5

2. Нахождение НОД:

   • НОД определяется как произведение общих простых множителей, взятых в наименьшей степени.
   • Общих простых множителей у 18, 20 и 15 нет, поэтому НОД(18, 20, 15) = 1.

3. Нахождение НОК:

   • НОК определяется как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени.
   • НОК(18, 20, 15) = 2² × 3² × 5 = 180.

б) Числа 12, 16 и 20

1. Разложение на простые множители:

   • 12 = 2² × 3
   • 16 = 2⁴
   • 20 = 2² × 5

2. Нахождение НОД:

   • Общий простой множитель — 2, минимальная степень — 2.
   • НОД(12, 16, 20) = 2² = 4.

3. Нахождение НОК:

   • НОК(12, 16, 20) = 2⁴ × 3 × 5 = 240.

в) Числа 25, 15 и 10

1. Разложение на простые множители:

   • 25 = 5²
   • 15 = 3 × 5
   • 10 = 2 × 5

2. Нахождение НОД:

   • Общий простой множитель — 5, минимальная степень — 1.
   • НОД(25, 15, 10) = 5.

3. Нахождение НОК:

   • НОК(25, 15, 10) = 2 × 3 × 5² = 150.

Таким образом, мы нашли НОД и НОК для всех заданных наборов чисел.

а) Для чисел 18, 20 и 15: НОД(18, 20, 15) = НОД(НОД(18, 20), 15) = НОД(2, 15) = 1 НОК(18, 20, 15) = НОК(НОК(18, 20), 15) = НОК(36, 15) = 180

б) Для чисел 12, 16 и 20: НОД(12, 16, 20) = НОД(НОД(12, 16), 20) = НОД(4, 20) = 4 НОК(12, 16, 20) = НОК(НОК(12, 16), 20) = НОК(48, 20) = 48

в) Для чисел 25, 15 и 10: НОД(25, 15, 10) = НОД(НОД(25, 15), 10) = НОД(5, 10) = 5 НОК(25, 15, 10) = НОК(НОК(25, 15), 10) = НОК(75, 10) = 150

а) НОД(18,20,15) = 1; НОК(18,20,15) = 180 б) НОД(12,16,20) = 4; НОК(12,16,20) = 240 в) НОД(25,15,10) = 5; НОК(25,15,10) = 150