Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4-8x^2+3 на числовом отрезке $-1,2$

Наибольшее значение функции равно 12 при x=2, наименьшее значение функции равно -5 при x=-1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=x^4-8x^2+3 на числовом отрезке $-1,2$ нужно найти экстремумы функции на этом отрезке.

1. Найдем производную функции y=x^4-8x^2+3: y' = 4x^3 - 16x

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x^3 - 16x = 0 4x$x^2-4$ = 0 4x$x-2$$x+2$ = 0 x = 0, x = -2, x = 2

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: y$-1$ = $-1$^4 - 8$-1$^2 + 3 = 12 y$0$ = 0^4 - 80^2 + 3 = 3 y$2$ = 2^4 - 82^2 + 3 = -19

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $-1,2$ равно 12, достигается в точке x = -1, а наименьшее значение равно -19, достигается в точке x = 2.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=x^4-8x^2+3$ на отрезке $[-1,2]$, мы будем следовать стандартной процедуре для поиска экстремумов функции на заданном промежутке.

1. Найдем критические точки функции:

   Для этого сначала найдем производную функции: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(x^4-8x^2+3)=4x^3-16x.$

   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю: $4x^3-16x=0.$

   Разложим уравнение: $4x(x^2-4)=0.$

   Отсюда получаем: $4x=0\text{или}{x}^2-4=0.$

   Это даёт нам: $x=0,x=2,x=-2.$

2. Проверим критические точки на отрезке $[-1,2]$:

   Из критических точек в наш отрезок $[-1,2]$ попадают только $x=0$ и $x=2$. Точка $x=-2$ не входит в этот отрезок и поэтому не будет рассматриваться.

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

   • В точке $x=-1$: $y(-1)=(-1{)}^4-8(-1{)}^2+3=1-8+3=-4.$

   • В точке $x=0$: $y(0)=(0{)}^4-8(0{)}^2+3=3.$

   • В точке $x=2$: $y(2)=(2{)}^4-8(2{)}^2+3=16-32+3=-13.$

4. Сравним найденные значения:

   На отрезке $[-1,2]$ значения функции в рассматриваемых точках:

   • $y(-1$ = -4 ),
   • $y(0$ = 3 ),
   • $y(2$ = -13 ).

   Наибольшее значение функции на отрезке — это 3, достигается в точке $x=0$.

   Наименьшее значение функции на отрезке — это -13, достигается в точке $x=2$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[-1,2]$ равно 3, а наименьшее значение равно -13.