Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4-8x^2+3 на числовом отрезке [-1,2]

Наибольшее значение функции равно 12 при x=2, наименьшее значение функции равно -5 при x=-1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=x^4-8x^2+3 на числовом отрезке [-1,2] нужно найти экстремумы функции на этом отрезке.

1. Найдем производную функции y=x^4-8x^2+3: y' = 4x^3 - 16x

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 4x(x-2)(x+2) = 0 x = 0, x = -2, x = 2

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 + 3 = 12 y(0) = 0^4 - 80^2 + 3 = 3 y(2) = 2^4 - 82^2 + 3 = -19

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1,2] равно 12, достигается в точке x = -1, а наименьшее значение равно -19, достигается в точке x = 2.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( y = x^4 - 8x^2 + 3 ) на отрезке ([-1, 2]), мы будем следовать стандартной процедуре для поиска экстремумов функции на заданном промежутке.

1. Найдем критические точки функции:

   Для этого сначала найдем производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 3) = 4x^3 - 16x. ]

   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю: [ 4x^3 - 16x = 0. ]

   Разложим уравнение: [ 4x(x^2 - 4) = 0. ]

   Отсюда получаем: [ 4x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 4 = 0. ]

   Это даёт нам: [ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2. ]

2. Проверим критические точки на отрезке ([-1, 2]):

   Из критических точек в наш отрезок ([-1, 2]) попадают только ( x = 0 ) и ( x = 2 ). Точка ( x = -2 ) не входит в этот отрезок и поэтому не будет рассматриваться.

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

   • В точке ( x = -1 ): [ y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4. ]

   • В точке ( x = 0 ): [ y(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 3 = 3. ]

   • В точке ( x = 2 ): [ y(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13. ]

4. Сравним найденные значения:

   На отрезке ([-1, 2]) значения функции в рассматриваемых точках:

   • ( y(-1) = -4 ),
   • ( y(0) = 3 ),
   • ( y(2) = -13 ).

   Наибольшее значение функции на отрезке — это 3, достигается в точке ( x = 0 ).

   Наименьшее значение функции на отрезке — это -13, достигается в точке ( x = 2 ).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([-1, 2]) равно 3, а наименьшее значение равно -13.