Найти f'(1/2), ести f(x)=1/x^4

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{1}{x^4} ) в точке ( x = \frac{1}{2} ), нужно выполнить несколько шагов. Разберем подробно:

Шаг 1. Перепишем функцию в удобной форме.

Функция ( f(x) = \frac{1}{x^4} ) может быть переписана с использованием степени:

[ f(x) = x^{-4}. ]

Шаг 2. Найдем производную ( f'(x) ).

Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции:

[ \frac{d}{dx} \big( x^n \big) = n x^{n-1}. ]

Подставляем ( n = -4 ):

[ f'(x) = -4 \cdot x^{-4-1} = -4 \cdot x^{-5}. ]

Таким образом, производная функции:

[ f'(x) = -\frac{4}{x^5}. ]

Шаг 3. Подставляем ( x = \frac{1}{2} ).

Теперь подставляем ( x = \frac{1}{2} ) в выражение для ( f'(x) ):

[ f'(x) = -\frac{4}{x^5}. ]

Подставляем ( x = \frac{1}{2} ):

[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{\left(\frac{1}{2}\right)^5}. ]

Шаг 4. Упростим выражение.

Сначала вычислим ( \left(\frac{1}{2}\right)^5 ):

[ \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}. ]

Теперь подставим это значение в знаменатель:

[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{\frac{1}{32}}. ]

При делении на дробь мы умножаем на её обратное:

[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -4 \cdot 32 = -128. ]

Окончательный ответ:

[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -128. ]

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{1}{x^4} ) и затем вычислить ( f'\left(\frac{1}{2}\right) ), следуем следующим шагам.

1. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования степенной функции. Функцию можно переписать в виде: [ f(x) = x^{-4} ] Применим правило дифференцирования: [ f'(x) = -4x^{-5} ] Это можно записать в более привычной форме: [ f'(x) = -\frac{4}{x^5} ]

2. Теперь найдем производную в точке ( x = \frac{1}{2} ). Подставим ( x = \frac{1}{2} ) в выражение для производной: [ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{\left(\frac{1}{2}\right)^5} ]

3. Вычислим ( \left(\frac{1}{2}\right)^5 ): [ \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} ]

4. Подставим это значение в выражение для производной: [ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{\frac{1}{32}} = -4 \cdot 32 = -128 ]

Таким образом, мы нашли, что производная функции ( f(x) = \frac{1}{x^4} ) в точке ( x = \frac{1}{2} ) равна: [ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -128 ]

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{1}{x^4} ), сначала найдем её производную:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^{-4}\right) = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5} ]

Теперь подставим ( x = \frac{1}{2} ):

[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{\left(\frac{1}{2}\right)^5} = -\frac{4}{\frac{1}{32}} = -4 \cdot 32 = -128 ]

Таким образом, ( f'\left(\frac{1}{2}\right) = -128 ).