Найдите все значения X при которых выполняется неравенство f'(х) <0,если f(х) = 81х- 3х^3

Чтобы решить неравенство ( f'(x) < 0 ) для функции ( f(x) = 81x - 3x^3 ), сначала найдем производную функции ( f(x) ).

1. Найдем производную ( f'(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(81x) - \frac{d}{dx}(3x^3) = 81 - 9x^2. ]

2. Решим неравенство ( f'(x) < 0 ): [ 81 - 9x^2 < 0. ] Перепишем неравенство: [ 9x^2 > 81. ] Разделим обе стороны на 9: [ x^2 > 9. ]

3. Найдем значения ( x ), при которых ( x^2 > 9 ): [ x > 3 \quad \text{или} \quad x < -3. ]

Таким образом, решение неравенства ( f'(x) < 0 ) будет: [ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty). ]

1. Проверка: Мы можем проверить, что производная действительно отрицательна в указанных интервалах:
   • Для ( x < -3 ), например, ( x = -4 ): [ f'(-4) = 81 - 9(-4)^2 = 81 - 144 = -63 < 0. ]
   • Для ( x > 3 ), например, ( x = 4 ): [ f'(4) = 81 - 9(4)^2 = 81 - 144 = -63 < 0. ]

Таким образом, мы подтвердили, что ( f'(x) < 0 ) в интервалах ( (-\infty, -3) ) и ( (3, +\infty) ).

Ответ: Все значения ( x ), при которых выполняется неравенство ( f'(x) < 0 ), это ( x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) ).

Давайте разберем задачу подробно.

Нам нужно найти все значения ( x ), при которых производная функции ( f'(x) ) меньше нуля, если функция ( f(x) = 81x - 3x^3 ).

Шаг 1. Найдем производную ( f'(x) )

Функция ( f(x) = 81x - 3x^3 ). Применим правила дифференцирования:

1. Производная от ( 81x ) равна ( 81 ),
2. Производная от ( -3x^3 ) равна ( -9x^2 ) (по правилу степени).

Итак, производная: [ f'(x) = 81 - 9x^2. ]

Шаг 2. Решим неравенство ( f'(x) < 0 )

Нас интересует область, где производная отрицательна: [ 81 - 9x^2 < 0. ]

Перенесем ( 9x^2 ) вправо: [ 81 < 9x^2. ]

Разделим обе части на ( 9 ) (поскольку коэффициент положительный, знак неравенства не изменится): [ 9 < x^2. ]

Теперь перепишем это как: [ x^2 > 9. ]

Шаг 3. Найдем значения ( x )

Неравенство ( x^2 > 9 ) означает, что модуль ( x ) больше ( 3 ). Это можно записать как: [ x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3. ]

Шаг 4. Запишем итоговый ответ

Производная ( f'(x) ) отрицательна при: [ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty). ]

Шаг 5. Проверка (необязательно, но полезно)

Производная ( f'(x) = 81 - 9x^2 ) — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный). Она обращается в ноль в точках ( x = -3 ) и ( x = 3 ). Между этими точками (( -3 < x < 3 )) парабола выше оси ( x ), а за пределами (( x < -3 ) и ( x > 3 )) — ниже оси ( x ). Это подтверждает правильность ответа.

Таким образом, функция убывает на интервалах: [ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty). ]