Найдите все первообразные функции f(x)=2x^3-6x^2+x-1

Для нахождения первообразной функции (f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1) нужно произвести интегрирование данной функции.

Интегрируя каждый член по отдельности, получим:

[\int 2x^3 \,dx = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 + C_1] [\int -6x^2 \,dx = \frac{-6}{3}x^3 = -2x^3 + C_2] [\int x \,dx = \frac{1}{2}x^2 + C_3] [\int -1 \,dx = -x + C_4]

Где (C_1, C_2, C_3, C_4) - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, первообразная функции (f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1) имеет вид:

[F(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + C]

Где (C) - произвольная постоянная.

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1 ), нужно воспользоваться правилом интегрирования. Первообразная функции ( f(x) ) обозначается обычно как ( F(x) ) и представляет собой интеграл ( f(x) ) по ( x ).

Основные правила интегрирования, которые нам пригодятся, включают:

1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций.
2. Интеграл от константы ( k ) равен ( kx + C ), где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
3. Интеграл от ( x^n ) (где ( n \neq -1 )) равен ( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ).

Используем эти правила для нахождения первообразной:

1. Разделим функцию на отдельные слагаемые: [ f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1 ]

2. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

   • Интеграл от ( 2x^3 ): [ \int 2x^3 \, dx = 2 \int x^3 \, dx = 2 \left( \frac{x^{3+1}}{3+1} \right) = 2 \left( \frac{x^4}{4} \right) = \frac{1}{2} x^4 ]

   • Интеграл от ( -6x^2 ): [ \int -6x^2 \, dx = -6 \int x^2 \, dx = -6 \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) = -6 \left( \frac{x^3}{3} \right) = -2x^3 ]

   • Интеграл от ( x ): [ \int x \, dx = \int x^1 \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} ]

   • Интеграл от ( -1 ): [ \int -1 \, dx = -x ]

3. Теперь соберем все найденные интегралы вместе и добавим константу интегрирования ( C ): [ F(x) = \frac{1}{2} x^4 - 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C ]

Таким образом, все первообразные функции для ( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1 ) имеют вид: [ F(x) = \frac{1}{2} x^4 - 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C, ] где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1 F(x) = 1/2 2x^4 - 1/3 6x^3 + 1/2 x^2 - x + C F(x) = x^4 - 2x^3 + 1/2 x^2 - x + C, где C - произвольная постоянная.