Найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k

Угол между диагоналями параллелограмма можно найти по формуле cos$\theta$ = (a b) / (|a| |b|), где a и b - это векторы, |a| и |b| - их длины. Подставим значения векторов a=2i+j и b=-j+2k в формулу, вычислим скалярное произведение $a\ast b$, длины векторов и найдем угол θ.

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k, необходимо использовать косинус угла между векторами.

Сначала найдем диагонали параллелограмма, которые представляют собой сумму векторов a и b:

Диагональ 1: c = a + b = 2i + j - j + 2k = 2i + 2k Диагональ 2: d = a - b = 2i + j + j - 2k = 2i - 2k

Затем найдем косинус угла между диагоналями с помощью скалярного произведения векторов c и d, их длин и формулы косинуса угла между векторами:

cos$\theta$ = (c d) / (||c|| ||d||)

где c * d - скалярное произведение векторов c и d, ||c|| и ||d|| - длины векторов c и d.

Сначала найдем скалярное произведение:

c d = (2 2) + (0 0) + (2 -2) = 4 - 4 = 0

Затем найдем длины векторов:

||c|| = √$2^2+0^2+2^2$ = √$4+4$ = √8 = 2√2 ||d|| = √$2^2+0^2+(-2$^2) = √$4+4$ = √8 = 2√2

Подставляем все в формулу косинуса:

cos$\theta$ = 0 / $2\surd 2\ast 2\surd 2$ = 0 / 8 = 0

Учитывая, что cos$90°$ = 0, получаем, что угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k, равен 90 градусов.

Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}$ и $\mathbf{b}=-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, нам сначала нужно определить сами диагонали. Векторные диагонали параллелограмма можно найти как сумму и разность данных векторов.

Итак, обозначим векторы диагоналей как: ${\mathbf{D}}_1=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ${\mathbf{D}}_2=\mathbf{a}-\mathbf{b}$

Теперь вычислим эти векторы:

1. Вектор ${\mathbf{D}}_1$: ${\mathbf{D}}_1=(2\mathbf{i}+\mathbf{j})+(-\mathbf{j}+2\mathbf{k})=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}=2\mathbf{i}+2\mathbf{k}$

2. Вектор ${\mathbf{D}}_2$: ${\mathbf{D}}_2=(2\mathbf{i}+\mathbf{j})-(-\mathbf{j}+2\mathbf{k})=2\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$

Теперь у нас есть векторы диагоналей: ${\mathbf{D}}_1=2\mathbf{i}+2\mathbf{k}$ ${\mathbf{D}}_2=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$

Следующим шагом является нахождение их скалярного произведения ${\mathbf{D}}_1\cdot {\mathbf{D}}_2$ и модулей этих векторов $|{\mathbf{D}}_1|$ и $|{\mathbf{D}}_2|$.

Вычислим скалярное произведение: ${\mathbf{D}}_1\cdot {\mathbf{D}}_2=(2\mathbf{i}+2\mathbf{k})\cdot (2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k})$ $=2\cdot 2+0\cdot 2+2\cdot (-2)=4-4=0$

Теперь найдем модули векторов: $|{\mathbf{D}}_1|=\sqrt{(2{)}^2+(0{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$|{\mathbf{D}}_2|=\sqrt{(2{)}^2+(2{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: $\cos \theta =\frac{{\mathbf{D}}_1\cdot {\mathbf{D}}_2}{|{\mathbf{D}}_1||{\mathbf{D}}_2|}$ $\cos \theta =\frac{0}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{3})}=\frac{0}{4\sqrt{6}}=0$

Так как $\cos \theta =0$, это означает, что угол $\theta$ между диагоналями равен ${90}^{\circ }$.

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}$ и $\mathbf{b}=-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, составляет ${90}^{\circ }$.