Найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k

Угол между диагоналями параллелограмма можно найти по формуле cos(θ) = (a b) / (|a| |b|), где a и b - это векторы, |a| и |b| - их длины. Подставим значения векторов a=2i+j и b=-j+2k в формулу, вычислим скалярное произведение (a * b), длины векторов и найдем угол θ.

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k, необходимо использовать косинус угла между векторами.

Сначала найдем диагонали параллелограмма, которые представляют собой сумму векторов a и b:

Диагональ 1: c = a + b = 2i + j - j + 2k = 2i + 2k Диагональ 2: d = a - b = 2i + j + j - 2k = 2i - 2k

Затем найдем косинус угла между диагоналями с помощью скалярного произведения векторов c и d, их длин и формулы косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (c d) / (||c|| ||d||)

где c * d - скалярное произведение векторов c и d, ||c|| и ||d|| - длины векторов c и d.

Сначала найдем скалярное произведение:

c d = (2 2) + (0 0) + (2 -2) = 4 - 4 = 0

Затем найдем длины векторов:

||c|| = √(2^2 + 0^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 ||d|| = √(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Подставляем все в формулу косинуса:

cos(θ) = 0 / (2√2 * 2√2) = 0 / 8 = 0

Учитывая, что cos(90°) = 0, получаем, что угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k, равен 90 градусов.

Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах (\mathbf{a} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j}) и (\mathbf{b} = -\mathbf{j} + 2\mathbf{k}), нам сначала нужно определить сами диагонали. Векторные диагонали параллелограмма можно найти как сумму и разность данных векторов.

Итак, обозначим векторы диагоналей как: [ \mathbf{D}_1 = \mathbf{a} + \mathbf{b} ] [ \mathbf{D}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{b} ]

Теперь вычислим эти векторы:

1. Вектор (\mathbf{D}_1): [ \mathbf{D}_1 = (2\mathbf{i} + \mathbf{j}) + (-\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{k} ]

2. Вектор (\mathbf{D}_2): [ \mathbf{D}_2 = (2\mathbf{i} + \mathbf{j}) - (-\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} ]

Теперь у нас есть векторы диагоналей: [ \mathbf{D}_1 = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{k} ] [ \mathbf{D}_2 = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} ]

Следующим шагом является нахождение их скалярного произведения (\mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{D}_2) и модулей этих векторов (|\mathbf{D}_1|) и (|\mathbf{D}_2|).

Вычислим скалярное произведение: [ \mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{D}_2 = (2\mathbf{i} + 2\mathbf{k}) \cdot (2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) ] [ = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0 ]

Теперь найдем модули векторов: [ |\mathbf{D}_1| = \sqrt{(2)^2 + (0)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

[ |\mathbf{D}_2| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{D}_2}{|\mathbf{D}_1| |\mathbf{D}_2|} ] [ \cos \theta = \frac{0}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{3})} = \frac{0}{4\sqrt{6}} = 0 ]

Так как (\cos \theta = 0), это означает, что угол (\theta) между диагоналями равен (90^\circ).

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах (\mathbf{a} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j}) и (\mathbf{b} = -\mathbf{j} + 2\mathbf{k}), составляет (90^\circ).