Найдите точку максимума функции у=(4-х)е в степени х+4

Чтобы найти точку максимума функции ( y = (4-x)e^{x+4} ), следуем стандартной процедуре для нахождения экстремумов функции, включающей нахождение первой и второй производных.

1. Функция и её производная:

   Дана функция: [ y = (4-x)e^{x+4} ]

   Чтобы упростить, заметим, что ( e^{x+4} = e^4 \cdot e^x ), и можем рассматривать ( e^4 ) как константу при нахождении производных.

   Найдем первую производную ( y' ). Применим правило произведения: [ y = (4-x)e^x \cdot e^4 ] [ y' = \left( (4-x)' e^x + (4-x)(e^x)' \right) \cdot e^4 ] [ y' = \left( -1 \cdot e^x + (4-x)e^x \right) \cdot e^4 ] [ y' = \left( -e^x + (4-x)e^x \right) \cdot e^4 ] [ y' = e^x(4-x-1) \cdot e^4 ] [ y' = (3-x) e^x \cdot e^4 ]

2. Критические точки:

   Найдем, где производная равна нулю: [ (3-x) e^x \cdot e^4 = 0 ]

   Поскольку ( e^x \neq 0 ) и ( e^4 \neq 0 ), уравнение сводится к: [ 3-x = 0 ] [ x = 3 ]

3. Вторая производная и проверка на максимум:

   Найдем вторую производную ( y'' ): [ y' = (3-x) e^x \cdot e^4 ] [ y'' = \left( (3-x)' e^x + (3-x)(e^x)' \right) \cdot e^4 ] [ y'' = \left( -1 \cdot e^x + (3-x)e^x \right) \cdot e^4 ] [ y'' = \left( -e^x + (3-x)e^x \right) \cdot e^4 + (3-x)e^x \cdot e^4 ] [ y'' = \left( -e^x + (3-x)e^x + (3-x)e^x \right) \cdot e^4 ] [ y'' = \left( -e^x + 2(3-x)e^x \right) \cdot e^4 ] [ y'' = \left( -e^x + 6e^x - 2xe^x \right) \cdot e^4 ] [ y'' = (5 - 2x)e^x \cdot e^4 ]

   Проверим знак второй производной в точке ( x = 3 ): [ y''(3) = (5 - 2 \cdot 3)e^3 \cdot e^4 ] [ y''(3) = (5 - 6)e^3 \cdot e^4 ] [ y''(3) = -e^3 \cdot e^4 ] [ y''(3) = -e^7 < 0 ]

   Поскольку вторая производная отрицательна, функция имеет локальный максимум в точке ( x = 3 ).

4. Значение функции в точке максимума:

   Подставим ( x = 3 ) в исходную функцию, чтобы найти значение ( y ): [ y = (4-3)e^{3+4} ] [ y = 1 \cdot e^7 ] [ y = e^7 ]

Итак, точка максимума функции ( y = (4-x)e^{x+4} ) находится при ( x = 3 ), и значение функции в этой точке равно ( e^7 ).

Для нахождения точки максимума функции у=(4-х)^(х+4) необходимо найти производную данной функции и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции у'(х): У=(4-х)^(х+4) У'=(х+4)(4-х)^(х+3)(-1)+ln(4-х)*(4-х)^(х+4)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку максимума: У'=0 (х+4)(4-х)^(х+3)(-1)+ln(4-х)(4-х)^(х+4)=0 (х+4)(4-х)^(х+3)=ln(4-х)(4-х)^(х+4) (х+4)=ln(4-х)(4-х) (х+4)/ln(4-х)=4-х х+4=4ln(4-х)-хln(4-х) 5х=4ln(4-х)-4 5х=4ln(4-х)-ln(4-х) 5х=ln((4-х)^4)

Из этого уравнения можно численно найти значение х, а затем подставить его обратно в исходное уравнение для нахождения точки максимума функции у=(4-х)^(х+4).